Ache o algarismo das unidades de 3^400, 3^401 e 3^1000

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache o algarismo das unidades de 3^400, 3^401 e 3^1000. O conteúdo aqui é a periodicidade do dígito das unidades de potências de 3, estudada com aritmética modular (calculando restos mod 10).

Passo 2

Para identificar o padrão, vamos calcular as primeiras potências de 3 e anotar o dígito das unidades:
3^1 = 3 implies unidades=3, 3^2 = 9 implies unidades=9, 3^3 = 27 implies unidades=7, 3^4 = 81 implies unidades=1

Passo 3

Como gcd(3,10)=1 e varphi(10)=4, a sequência de dígitos das unidades de 3^n fecha um ciclo de comprimento 4, ou seja, repete em grupos de quatro expoentes:
(3,9,7,1),;(3,9,7,1),;(3,9,7,1),dots

Passo 4

Basta ver onde cada expoente cai nesse ciclo, calculando o resto mod 4:
400 bmod 4 = 0, 401 bmod 4 = 1, 1000 bmod 4 = 0
No nosso ciclo, resto 1to primeiro elemento ( 3), resto 2to segundo ( 9), resto 3to terceiro ( 7) e resto 0to quarto ( 1).

Resposta

Para 3^400 o dígito das unidades é 1.
Para 3^401 o dígito das unidades é 3.
Para 3^1000 o dígito das unidades é 1.

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