Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por T(x, y, z)=(2 x+y-z, 3 x-2 y+4 z).
Determine uma base e a dimensão da imagem de T.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^2
por
T(x,y,z) = (,2x + y - z,;3x - 2y + 4z,)
Para encontrar a imagem de T (ou espaço coluna), vamos associar T à matriz A cujo j-ésimo coluna é T aplicado ao vetor canônico ej.

Passo 2

A matriz de T em relação às bases canônicas é
A = 2 & 1 & -1 3 & -2 & 4
As colunas são
c1 = 23, c2 = 1-2, c3 = -14
A imagem de T é o subespaço de R^2 gerado por c1,c2,c3.

Passo 3

Verificamos a independência de
então
Da primeira equação e são linearmente independentes.

Passo 4

Como c1,c2 já são independentes em R^2, elas formam uma base do espaço coluna de A. Além disso, c3 fica no span c1,c2, então não aumenta a dimensão.

Resposta

Uma base da imagem de T é
l,(2,3),;(1,-2)r,
e a dimensão de Im(T) é diml(Im(T)r)=2.

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