Seja
a transformação linear definida por
.
Determine uma base e a dimensão da imagem de
.
Determine uma base e a dimensão da imagem de
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
Para encontrar a imagem de
(ou espaço coluna), vamos associar
à matriz
cujo
-ésimo coluna é
aplicado ao vetor canônico
.
Passo 2
A matriz de
em relação às bases canônicas é
As colunas são
A imagem de
T é o subespaço de
R^2 gerado por
c1,c2,c3 .
Passo 3
Verificamos a independência de
então
Da primeira equação e
são linearmente independentes.
Passo 4
Como
c1,c2 já são independentes em
R^2 , elas formam uma base do espaço coluna de
A . Além disso,
c3 fica no span
c1,c2 , então não aumenta a dimensão.
Resposta
Uma base da imagem de
T é
e a dimensão de
Im(T) é
diml(Im(T)r)=2 .