Seja T: R^3 R^2 a transformação linear definida por T(x, y, z)=(2 x+y-z, 3 x-2 y+4 z).
Determine uma base e a dimensão do núcleo de T.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T:R^3toR^2, T(x,y,z)=(2x+y-z,;3x-2y+4z)
e pede o núcleo de T, ou seja
ker(T)=(x,y,z)inR^3mid T(x,y,z)=(0,0),
além da dimensão desse núcleo. Para isso, vamos resolver o sistema homogêneo associado.

Passo 2

Escrevemos T(x,y,z)=(0,0) como o sistema linear
2x + y - z = 0, 3x - 2y + 4z = 0

Passo 3

Da primeira equação isolamos z:
2x + y - z = 0 Longrightarrow z = 2x + y

Passo 4

Substituímos z=2x+y na segunda equação:
3x -2y +4(2x+y)=0 Longrightarrow 3x -2y +8x +4y = 0 Longrightarrow 11x +2y = 0 Longrightarrow y = -tfrac112x

Passo 5

Usando y=-tfrac112x em z=2x+y obtemos
z = 2x - tfrac112x = -tfrac72x
Logo a solução geral é
(x,y,z) = xl(1,,-tfrac112,,-tfrac72r)
Escolhendo o parâmetro t=x,
ker(T)=,t(1,-tfrac112,-tfrac72)mid tinR
Para eliminar frações, podemos tomar como base o vetor
(2,-11,-7)
em vez de l(1,-tfrac112,-tfrac72r).

Passo 6

O núcleo é gerado por um único vetor, logo tem apenas um parâmetro livre. Assim
dim(ker(T)) = 1

Resposta

Uma base de ker(T) é
(2,-11,-7),
e dim(ker(T)) = 1

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