Seja
a transformação linear definida por
.
Determine uma base e a dimensão do núcleo de
.
Determine uma base e a dimensão do núcleo de
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede o núcleo de
, ou seja
além da dimensão desse núcleo. Para isso, vamos resolver o sistema homogêneo associado.
Passo 2
Escrevemos
como o sistema linear
Passo 3
Da primeira equação isolamos
z :
Passo 4
Substituímos
z=2x+y na segunda equação:
Passo 5
Usando
y=-tfrac112x em
z=2x+y obtemos
Logo a solução geral é
Escolhendo o parâmetro
t=x ,
Para eliminar frações, podemos tomar como base o vetor
em vez de
l(1,-tfrac112,-tfrac72r) .
Passo 6
O núcleo é gerado por um único vetor, logo tem apenas um parâmetro livre. Assim
Resposta
Uma base de
ker(T) é
e
dim(ker(T)) = 1