Calcule o Resto da divisão de 1000! por 3^300

Passo 1

O enunciado pede para calcular o resto da divisão de 1000! por 3^300. O conteúdo principal aqui é o cálculo do expoente do primo 3 em 1000! (usando a fórmula de Legendre) e a conclusão de que, se esse expoente for pelo menos 300, então 3^300 divide 1000! exatamente, resultando em resto zero.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de Legendre para o expoente de 3 em 1000!:
v3(1000!) ;=; sumk=1^infty lfloor 10003^k rfloor,
parando quando 3^k>1000.

Passo 3

Calculamos termo a termo:
lfloor 10003rfloor = 333, lfloor 10003^2rfloor = 111, lfloor 10003^3rfloor = 37,
lfloor 10003^4rfloor = 12, lfloor 10003^5rfloor = 4, lfloor 10003^6rfloor = 1,
e para k>=7 temos 3^k>1000, logo os termos são zero.

Passo 4

Somando os valores:
v3(1000!) = 333 + 111 + 37 + 12 + 4 + 1 = 498
Como 498 >= 300, concluímos que 3^300 divide 1000! exatamente.

Resposta

0

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