Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique sua resposta.
A dimensão da imagem da transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x, 2 y, 0) é 3. ( )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a afirmação
“A dimensão da imagem da transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x,2y,0)
é igual a 3
é verdadeira ou falsa.
O conteúdo aqui é transformação linear, imagem (ou espaço‐alvo) e cálculo de dimensão (posto).

Passo 2

Vamos encontrar explicitamente a imagem de . Para isso, aplicamos aos vetores da base canônica de :
Logo

Passo 3

Os vetores e são linearmente independentes e geram . Portanto
que é menor que . Logo a afirmação é falsa.

Resposta

F (falsa), pois , não .

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