Ache o ângulo agudo entre as retas 3 x- 4 y+2=0 e 2 x+3 y=7

Passo 1

O enunciado pede o ângulo agudo entre as retas
3x - 4y + 2 = 0
e
2x + 3y = 7
O conteúdo é geometria analítica no plano: para isso, vamos obter o coeficiente angular de cada reta e depois usar a fórmula da tangente do ângulo entre duas retas.

Passo 2

Colocamos cada reta na forma y = mx + b para achar o coeficiente angular m.
Para a primeira reta:
3x - 4y + 2 = 0 Longrightarrow -4y = -3x - 2 Longrightarrow y = 34x + 12,
logo m1 = tfrac34.
Para a segunda reta:
2x + 3y = 7 Longrightarrow 3y = -2x + 7 Longrightarrow y = -23x + 73,
logo m2 = -tfrac23.

Passo 3

A fórmula para o ângulo theta entre duas retas de coeficientes angulares m1 e m2 é
tantheta = |m1 - m21 + m1,m2|
Substituindo m1 = tfrac34 e m2 = -tfrac23:
tantheta = |tfrac34 - l(-tfrac23r)1 + tfrac34cdotl(-tfrac23r)| = |tfrac34 + tfrac231 - tfrac12| = |tfrac912 + tfrac812tfrac12| = tfrac1712tfrac12 = 176

Passo 4

Como queremos o ângulo agudo, tomamos
theta = arctan!l(tfrac176r)
Em graus, fica aproximadamente 70,6^circ.

Resposta

theta = arctan176approx 70,6^circ

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