Dado um plano ax+by+cz=d. Mostre que
b neq 0, então uma equação paramétrica do plano é:
(x, y, z)=(t,-ab t-cb s+db, s)

Passo 1

O enunciado dá o plano definido implicitamente por
a x + b y + c z = d
e afirma que bneq0. O objetivo é encontrar uma representação paramétrica desse plano. Para isso precisamos usar a ideia de que um plano em R^3 tem dois graus de liberdade, isto é, podemos escolher duas variáveis como parâmetros livres e resolver a terceira a partir da equação do plano.

Passo 2

Como bneq0, fica fácil isolar y. Da equação
a x + b y + c z = d
temos
b y = d - a x - c z
e portanto
y = d - a x - c zb

Passo 3

Agora escolhemos dois parâmetros livres. Seja t o parâmetro que representa x e s o parâmetro que representa z. Substituindo x=t e z=s na expressão de y, obtemos
y = d - a,t - c,sb = -ab,t ;-;cb,s ;+;db
Assim a forma paramétrica do plano é
(x,y,z) = l(t,,-tfracabt - tfraccbs + tfracdb,,sr),
onde t,sinR.

Resposta

(x,y,z) = l(t,,-tfracab,t ;-;tfraccb,s ;+;tfracdb,,sr), t,sinR

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