Determine as equações paramétricas da reta perpendicular as retas:
r:l x=3 t+4 y=-2 t-2 z=3 t+5
e
s:l x=t y=2 t-2 z=-t+3

Passo 1

O enunciado pede a reta perpendicular às retas r e s. Como essas retas se intersectam, a reta perpendicular a ambas passa pelo ponto de interseção e tem direção dada pelo produto vetorial dos vetores diretores de r e s. Para resolver, vamos precisar de:
  1. Vetores diretores de r e s.
  2. Ponto de interseção de r e s.
  3. Produto vetorial para obter a direção perpendicular.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores e achamos o ponto de interseção.
Vetor diretor de r:
v=(3,,-2,,3)
Vetor diretor de s:
w=(1,,2,,-1)
Ponto genérico em r: (3t+4,,-2t-2,,3t+5).
Ponto genérico em s: (u,,2u-2,,-u+3).
Igualando coordenadas e resolvendo
3t+4 = u, -2t-2=2u-2, 3t+5=-u+3
obtém-se t=-1 e u=1. Logo o ponto de interseção é
P=(1,,0,,2)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial vtimes w para achar a direção da reta perpendicular:
v times w = i & j & k 3 & -2 & 3 1 & 2 & -1 =(-2,,3,,4)

Passo 4

A reta perpendicular procurada passa por P=(1,0,2) e tem vetor diretor n=vtimes w=(-2,3,4). Assim, suas equações paramétricas são
x=1-2t, y=0+3t, z=2+4t

Resposta

x=1-2t, y=3t, z=2+4t

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