Encontre o ângulo entre os planos:
Passo 1
O enunciado dá duas equações de planos e pede o ângulo entre eles:
Informações relevantes fornecidas: as duas equações dos planos acima. A pergunta que vamos responder é: qual é o ângulo entre
e
?]
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): cada plano descrito por uma equação da forma
tem um vetor normal
. O vetor normal é perpendicular ao plano e é a peça-chave para medir ângulo entre planos. O ângulo
entre dois planos é definido como o ângulo entre seus vetores normais. Na prática usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores: para vetores
e
,
Aqui
é o produto interno (soma dos produtos das componentes) e
é o comprimento do vetor (raiz da soma dos quadrados das componentes). Usamos valor absoluto no numerador para obter o ângulo agudo entre planos (entre
e
), que é a convenção usual.
Passo 3
Identificamos os vetores normais a partir das equações dos planos (peguei os coeficientes
diretamente das equações):
Agora calculamos o produto interno
:
Passo 4
Calculamos as normas (comprimentos) dos vetores normais:
Passo 5
Aplicamos a fórmula do cosseno usando valor absoluto do produto interno:
Portanto
Para uma resposta numérica (útil na prova quando pedem grau), calculamos aproximadamente: