Encontre o ângulo entre os planos:
\left\{\begin{array}{l}\pi_{1}: 3 x+y-5 z-1=0 \\\ \pi_{2}: x-2 y+6 z-7=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas equações de planos e pede o ângulo entre eles:
\begin{cases} \pi_{1}: 3x+y-5z-1=0,\\[4pt] \pi_{2}: x-2y+6z-7=0. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas: as duas equações dos planos acima. A pergunta que vamos responder é: qual é o ângulo entre \pi_{1} e \pi_{2}?]

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): cada plano descrito por uma equação da forma \,ax+by+cz+d=0\, tem um vetor normal \,(a,b,c)\,. O vetor normal é perpendicular ao plano e é a peça-chave para medir ângulo entre planos. O ângulo \theta entre dois planos é definido como o ângulo entre seus vetores normais. Na prática usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores: para vetores \mathbf{u} e \mathbf{v},
\cos\theta=\frac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
Aqui \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto interno (soma dos produtos das componentes) e \|\mathbf{u}\| é o comprimento do vetor (raiz da soma dos quadrados das componentes). Usamos valor absoluto no numerador para obter o ângulo agudo entre planos (entre 0 e 90^\circ), que é a convenção usual.

Passo 3

Identificamos os vetores normais a partir das equações dos planos (peguei os coeficientes a,b,c diretamente das equações):
\mathbf{n}_1=(3,\,1,\,-5),\qquad \mathbf{n}_2=(1,\,-2,\,6).
Agora calculamos o produto interno \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2:
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = 3\cdot1 + 1\cdot(-2) + (-5)\cdot6 = 3 - 2 - 30 = -29.

Passo 4

Calculamos as normas (comprimentos) dos vetores normais:
\|\mathbf{n}_1\| = \sqrt{3^{2}+1^{2}+(-5)^{2}} = \sqrt{9+1+25} = \sqrt{35},
\|\mathbf{n}_2\| = \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+6^{2}} = \sqrt{1+4+36} = \sqrt{41}.

Passo 5

Aplicamos a fórmula do cosseno usando valor absoluto do produto interno:
\cos\theta = \frac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{\|\mathbf{n}_1\|\,\|\mathbf{n}_2\|} = \frac{|-29|}{\sqrt{35}\,\sqrt{41}} = \frac{29}{\sqrt{1435}}.
Portanto
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{29}{\sqrt{1435}}\right).
Para uma resposta numérica (útil na prova quando pedem grau), calculamos aproximadamente:
\frac{29}{\sqrt{1435}}\approx 0,7660\quad\Rightarrow\quad \theta\approx 40,0^\circ.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{29}{\sqrt{1435}}\right)\approx 40,0^\circ

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