Ache o ângulo entre as retas:
r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2 \lambda \\\ y=-2 \lambda \\\ z=1 \lambda\end{array} \quad\right. para todo \lambda \in \mathbb{R} e r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=1-5 \lambda \\\ y=1+\lambda \\\ z=1\end{array} \quad\right. para todo \lambda \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço e pede o ângulo entre elas. Informações fornecidas:
r_{1}:\begin{cases}x=2\lambda\y=-2\lambda\z=1\lambda\end{cases}\quad(\lambda\in\mathbb{R})
r_{2}:\begin{cases}x=1-5\mu\y=1+\mu\z=1\end{cases}\quad(\mu\in\mathbb{R})
Dados relevantes extraídos do enunciado:
\text{vetor diretor de } r_{1}: \; \mathbf{v}_1=(2,\,-2,\,1)
\text{vetor diretor de } r_{2}: \; \mathbf{v}_2=(-5,\,1,\,0)
O que se pede: encontrar o ângulo entre r_{1} e r_{2}.

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagarzinho): o ângulo entre duas retas no espaço é o mesmo que o ângulo entre seus vetores diretores. Para vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} vale a fórmula do produto escalar:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lVert \mathbf{a}\rVert\,\lVert \mathbf{b}\rVert\cos\theta,
onde:
  • \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes),
  • \lVert \mathbf{a}\rVert é a norma (comprimento) do vetor \mathbf{a},
  • \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}, com 0\le\theta\le\pi.
    Na prática, calculamos \cos\theta por
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert \mathbf{a}\rVert\,\lVert \mathbf{b}\rVert}.
Observação útil para provas: muitas vezes pedem o ângulo entre retas como o ângulo agudo; aí usa-se o valor absoluto do numerador, isto é
\cos\theta=\frac{|\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}|}{\lVert \mathbf{a}\rVert\,\lVert \mathbf{b}\rVert},
para obter \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Vou explicar por que quando for necessário. Agora aplicamos a fórmula aos vetores diretores dados.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2. Usamos a definição: multiplicar componente a componente e somar:
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 = 2\cdot(-5)+(-2)\cdot 1 + 1\cdot 0.
Fazendo as contas:
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 = -10 -2 + 0 = -12.

Passo 4

Calcular as normas (comprimentos) dos vetores:
\lVert \mathbf{v}_1\rVert=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.
\lVert \mathbf{v}_2\rVert=\sqrt{(-5)^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{25+1+0}=\sqrt{26}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2}{\lVert \mathbf{v}_1\rVert\,\lVert \mathbf{v}_2\rVert }=\frac{-12}{3\sqrt{26}}=\frac{-4}{\sqrt{26}}.
Este valor é negativo, o que daria um ângulo obtuso \theta com \theta>\tfrac{\pi}{2}. Se quisermos o ângulo agudo entre as retas (prática comum em exercícios), tomamos o valor absoluto no numerador:
\cos\theta_{\text{agudo}}=\frac{|\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2|}{\lVert \mathbf{v}_1\rVert\,\lVert \mathbf{v}_2\rVert}=\frac{4}{\sqrt{26}}.
Escolhi apresentar o ângulo agudo porque é o mais solicitado em provas, mas lembrando que a alternativa obtusa seria \pi-\theta_{\text{agudo}}.

Passo 6

Calcular o ângulo numericamente. Primeiro o valor do cosseno:
\frac{4}{\sqrt{26}}\approx 0,784464537.
Agora a inversa do cosseno para obter o ângulo em radianos e em graus:
\theta_{\text{agudo}}=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{4}{\sqrt{26}}\right)\approx 0,667\\ \text{rad}.
Convertendo para graus (usar 180^\circ/\pi):
\theta_{\text{agudo}}\approx 38,21^\circ.
Se alguém quisesse o ângulo obtuso, seria \pi-\theta_{\text{agudo}}\approx 180^\circ-38,21^\circ=141,79^\circ.

Resposta

\theta\approx 38,21^\circ
\theta\approx 0,667\\ \text{rad}

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