Ache o ângulo entre as retas: r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2 \lambda \\\ y=-2 \lambda \\\ z=1 \lambda\end{array} \quad\right. para todo \lambda \in \mathbb{R} e r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=1-5 \lambda \\\ y=1+\lambda \\\ z=1\end{array} \quad\right. para todo \lambda \in \mathbb{R}
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço e pede o ângulo entre elas. Informações fornecidas:
\text{vetor diretor de } r_{1}: \; \mathbf{v}_1=(2,\,-2,\,1)
\text{vetor diretor de } r_{2}: \; \mathbf{v}_2=(-5,\,1,\,0)
O que se pede: encontrar o ângulo entre r_{1} e r_{2}.
Passo 2
Conceito-chave (explicado devagarzinho): o ângulo entre duas retas no espaço é o mesmo que o ângulo entre seus vetores diretores. Para vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} vale a fórmula do produto escalar:
Este valor é negativo, o que daria um ângulo obtuso \theta com \theta>\tfrac{\pi}{2}. Se quisermos o ângulo agudo entre as retas (prática comum em exercícios), tomamos o valor absoluto no numerador: