Ache o ângulo entre os seguintes pares de vetores:
2 i+j e j-k

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Geometria Vetorial onde a gente precisa encontrar o ângulo entre dois vetores. Os vetores que temos são 2i + j e j - k. Para isso, vamos usar a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do produto escalar que vai nos ajudar a encontrar o ângulo theta entre dois vetores A e B:
A cdot B = |A| , |B| cos(theta)
Aqui, A cdot B é o produto escalar dos vetores, |A| e |B| são os módulos (ou comprimentos) dos vetores, e theta é o ângulo entre eles. Nosso objetivo é isolar theta.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o produto escalar A cdot B. Se A = 2i + j e B = j - k, então:
A cdot B = (2)(0) + (1)(1) + (0)(-1) = 0 + 1 + 0 = 1
Aqui, multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos.

Passo 4

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores A e B. A fórmula para o módulo de um vetor V = ai + bj + ck é:
|V| = raiza^2 + b^2 + c^2
Para A = 2i + j:
|A| = raiz2^2 + 1^2 + 0^2 = raiz4 + 1 + 0 = raiz5
E para B = j - k:
|B| = raiz0^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e os módulos dos vetores, vamos substituir na fórmula original para encontrar cos(theta):
1 = raiz5 times raiz2 times cos(theta)
Simplificando:
1 = raiz10 cos(theta)
Então:
cos(theta) = 1raiz10

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, vamos tirar o arco cosseno de 1raiz10:
theta = cos^-1(1raiz10)
Calculando isso com uma calculadora:
theta approx 71,57^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores 2i + j e j - k é aproximadamente 71,57 graus.

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