Ache o ângulo entre os seguintes pares de vetores:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Geometria Vetorial onde a gente precisa encontrar o ângulo entre dois vetores. Os vetores que temos são
e
. Para isso, vamos usar a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do produto escalar que vai nos ajudar a encontrar o ângulo
entre dois vetores
e
:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores,
e
são os módulos (ou comprimentos) dos vetores, e
é o ângulo entre eles. Nosso objetivo é isolar
.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o produto escalar
. Se
e
, então:
Aqui, multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos.
Passo 4
Agora, vamos calcular os módulos dos vetores
e
. A fórmula para o módulo de um vetor
é:
Para
:
E para
:
Passo 5
Agora que temos o produto escalar e os módulos dos vetores, vamos substituir na fórmula original para encontrar
:
Simplificando:
Então:
Passo 6
Para encontrar o ângulo
, vamos tirar o arco cosseno de
:
Calculando isso com uma calculadora:
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é aproximadamente 71,57 graus.