Ache o ângulo entre os seguintes pares de vetores:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa achar o ângulo entre dois vetores. A matéria envolvida aqui é de Vetores, mais especificamente sobre o produto escalar e como ele se relaciona com o ângulo entre vetores. Para resolver isso, a gente vai precisar das componentes dos vetores, calcular o produto escalar entre eles e também as magnitudes (ou comprimentos) de cada vetor. Com esses dados, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que a gente tem:
- O primeiro vetor é
- O segundo vetor é
Passo 3
Agora, vamos escrever as componentes desses vetores. Podemos pensar em
,
e
como as direções nos eixos x, y e z, respectivamente. Assim:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar entre
e
. A fórmula para o produto escalar é:
Substituindo as componentes:
Passo 5
Agora, vamos calcular as magnitudes de cada vetor. A magnitude de um vetor
é dada por:
Calculando para
:
E para
:
Passo 6
Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Substituindo os valores que já encontramos:
Passo 7
Para achar o ângulo
, vamos aplicar a função arccos (também conhecida como inversa do cosseno):
Calculando esse valor, temos aproximadamente:
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é aproximadamente 125,26 graus.