Ache o ângulo entre os seguintes pares de vetores:
i+j+k e-2 j-2 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa achar o ângulo entre dois vetores. A matéria envolvida aqui é de Vetores, mais especificamente sobre o produto escalar e como ele se relaciona com o ângulo entre vetores. Para resolver isso, a gente vai precisar das componentes dos vetores, calcular o produto escalar entre eles e também as magnitudes (ou comprimentos) de cada vetor. Com esses dados, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que a gente tem:
  • O primeiro vetor é A = i + j + k
  • O segundo vetor é B = -2j - 2k

Passo 3

Agora, vamos escrever as componentes desses vetores. Podemos pensar em i, j e k como as direções nos eixos x, y e z, respectivamente. Assim:
  • A = (1, 1, 1)
  • B = (0, -2, -2)

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar entre A e B. A fórmula para o produto escalar é:
A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
Substituindo as componentes:
A cdot B = (1)(0) + (1)(-2) + (1)(-2) = 0 - 2 - 2 = -4

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes de cada vetor. A magnitude de um vetor V = (Vx, Vy, Vz) é dada por:
||V|| = raizVx^2 + Vy^2 + Vz^2
Calculando para A:
||A|| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
E para B:
||B|| = raiz0^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz0 + 4 + 4 = raiz8 = 2raiz2

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = A cdot B||A|| , ||B||
Substituindo os valores que já encontramos:
cos(theta) = -4raiz3 times 2raiz2 = -42raiz6 = -2raiz6 = -2raiz66 = -raiz63

Passo 7

Para achar o ângulo theta, vamos aplicar a função arccos (também conhecida como inversa do cosseno):
theta = arccos(-raiz63)
Calculando esse valor, temos aproximadamente:
theta approx 125,26^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores i + j + k e -2j - 2k é aproximadamente 125,26 graus.

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