Seja o espaço vetorial das matrizes 2 times 2 sobre R. Encontre o vetor coordenada da matriz A in V em relação à base beta, nos casos:
beta=(ll1 & 1 1 & 1),(cc0 & -1 1 & 0),(cc1 & -1 0 & 0),(ll1 & 0 0 & 1), onde A=(cc2 & 3 4 & -7)

Passo 1

O enunciado pede o vetor coordenada de
A=2 & 3 4 & -7
no espaço de todas as matrizes 2times2 em relação à base
beta=B1,B2,B3,B4, onde
B1=1 & 1 1 & 1,; B2=0 & -1 1 & 0,; B3=1 & -1 0 & 0,; B4=1 & 0 0 & 1
Para resolver, vamos expressar A como combinação linear desses quatro vetores e igualar as entradas, obtendo um sistema linear.

Passo 2

Suponha
A=c1B1 + c2B2 + c3B3 + c4B4
Então
c11&11&1 +c20&-11&0 +c31&-10&0 +c41&00&1 =2&34&-7

Passo 3

Igualando entrada a entrada, obtemos o sistema
c1 + c3 + c4 = 2, c1 - c2 - c3 = 3, c1 + c2 = 4, c1 + c4 = -7

Passo 4

Resolvendo o sistema:
a) Da terceira equação, c2 = 4 - c1.
b) Da quarta, c4 = -7 - c1.
c) Substituindo em c1 - c2 - c3 = 3:
c1 - (4 - c1) - c3 = 3 ;Longrightarrow;2c1 - c3 = 7 ;Longrightarrow;c3 = 2c1 - 7
d) Finalmente, na primeira equação:
c1 + (2c1 - 7) + (-7 - c1) = 2 ;Longrightarrow;2c1 - 14 = 2 ;Longrightarrow;c1 = 8

Passo 5

Agora basta calcular cada coeficiente:
c1 = 8, c2 = 4 - 8 = -4, c3 = 2cdot 8 - 7 = 9, c4 = -7 - 8 = -15

Resposta

O vetor coordenada de A em relação a beta é
8 -4 9 -15

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