Encontre mathbfA^-1, onde
A=[rrrr4 & -1 & 2 & -2 3 & -1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede A^-1 para
A = 4 & -1 & 2 & -2 3 & -1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1
Vamos usar o método de Gauss–Jordan: montar l[ Amid Ir] e fazer operações elementares até obter l[ Imid A^-1r].

Passo 2

Montamos o sistema aumentado
[, rrrr|rrrr 4 & -1 & 2 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

1) Pivot em (1,1): faça R1 tfrac14R1.
2) Elimine em baixo:
R2 R2-3R1, R3 R3-2R1
O bloco esquerdo fica então
1 & -tfrac14 & tfrac12 & -tfrac12 0 & -tfrac14 & -tfrac32 & tfrac32 0 & tfrac72 & 0 & 1 0 & 7 & 1 & 1 ,
com o direito ajustado de modo consistente.

Passo 4

Pivot em (2,2): para ter coeficiente mais “limpo”, troque R2rightarrow R3 e depois escale
R2 27R2
para tornar o novo elemento (2,2) igual a 1. Em seguida elimine em coluna 2 nas outras linhas:
R1 R1+tfrac14R2, R3 R3+tfrac14R2, R4 R4-7R2

Passo 5

Pivot em (3,3): troque R3rightarrow R4 para ter coeficiente 1 e então elimine coluna 3 em todas as outras linhas:
R1 R1-tfrac12R3, R2 já tem zero em 3, R4 R4+tfrac32R3 á

Passo 6

Pivot em (4,4): escale
R4 14,R4
para que o elemento (4,4)=1. Depois elimine coluna 4 em todas as linhas acima:
R1 R1-tfrac114R4, R2 R2-tfrac27R4, R3 R3+R4

Passo 7

Agora o bloco esquerdo é a identidade e o direito é exatamente A^-1, com linhas
R1:(-1,,-1,,4,,-2), R2:(-3,,-4,,12,,-6), R3:(11,,14,,-43,,22), R4:(10,,14,,-41,,21)

Resposta

A^-1 = -1 & -1 & 4 & -2 -3 & -4 & 12 & -6 11 & 14 & -43 & 22 10 & 14 & -41 & 21

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