Seja o espaço vetorial das matrizes 2 times 2 sobre R. Encontre o vetor coordenada da matriz A in V em relação à base beta, nos casos:
$\beta=\left{\left( cc1 & -2 -2 & 1\right),\left( ll2 & 1 1 & 3\right),\left( cc4 & -1 -1 & -5\right)\right}), onde A=(cc4 & -11 -11 & -7)

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas de
A = 4 & -11-11 & -7
em relação à base
beta = lB1,B2,B3r
onde
B1 = 1 & -2-2 & 1, B2 = 2 & 11 & 3, B3 = 4 & -1-1 & -5
O conteúdo é mudança de base em espaço vetorial (aqui o subespaço das matrizes simétricas 2times2), e vamos resolver encontrando escalares x,y,z tais que
xB1 + yB2 + zB3 = A

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando entradas, temos
x1 & -2-2 & 1 +y2 & 11 & 3 +z4 & -1-1 & -5 = 4 & -11-11 & -7
Isso gera o sistema
x + 2y + 4z = 4, -2x + y - z = -11, x + 3y -5z = -7

Passo 3

Das três equações, isolamos y na segunda:
-2x + y - z = -11 Longrightarrow y = 2x + z -11

Passo 4

Substituímos y=2x+z-11 nas outras duas:
  1. Em x + 2y + 4z = 4:
x + 2(2x+z-11) +4z =4 ;Longrightarrow; 5x + 6z =26
  1. Em x + 3y -5z = -7:
x + 3(2x+z-11) -5z = -7 ;Longrightarrow; 7x -2z =26

Passo 5

Resolvendo o sistema
5x +6z =26, 7x -2z =26,
multiplicamos a segunda por 3 e somamos:
21x -6z =78 e 5x +6z =26 ;Longrightarrow; 26x =104 ;Longrightarrow; x =4
Então de 7x -2z =26 vem
28 -2z =26 ;Longrightarrow; z =1

Passo 6

Finalmente, y = 2x + z -11 = 2cdot4 +1 -11 = -2

Resposta

[A]beta = 4-21

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