Encontre mathbfA^-1, onde
A=[rrrr0 & -i & -2 & i 1 & -1 & i & 1 0 & -1 & 1 & -i 1 & 1 & 1 & 0]

Passo 1

O enunciado pede a inversa de uma matriz 4times4 com entradas complexas. O conteúdo aqui é o método de Gauss–Jordan: vamos montar a matriz aumentada [Amid I], fazer pivôs sucessivos nas colunas 1, 2, 3 e 4, escalonar até obter [Imid A^-1] e então ler A^-1.

Passo 2

Começamos com
[Amid I] = 0 & -i & -2 & i &mid& 1 & 0 & 0 & 0 1 & -1 & i & 1 &mid& 0 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & -i &mid& 0 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 0 &mid& 0 & 0 & 0 & 1
Troquei R1rightarrow R2 para ter pivô em (1,1)=1, e depois eliminei a primeira coluna em R4 subtraindo R4-R1. O bloco esquerdo vira então
1 & -1 & i & 1 0 & -i & -2 & i 0 & -1 & 1 & -i 0 & 2 & 1-i & -1 ,
com a parte direita ajustada igualmente (não detalhada aqui para economizar espaço, mas feita da mesma forma).

Passo 3

Agora pivotamos na coluna 2: em R2 o valor é -i, então fazemos R2 R2/(-i), obtendo pivô 1. Em seguida, eliminamos a coluna 2 em R1,R3,R4 com combinações lineares. Após esses cálculos, a parte esquerda fica
1 & 0 & -i & 0 0 & 1 & -2i & -1 0 & 0 & 1-2i & -1-i 0 & 0 & 1+3i & 1
e o lado direito já está ajustado para refletir essas operações.

Passo 4

Pivot na coluna 3: o pivô em R3 é 1-2i. Fazemos
R3 11-2i,R3,
e depois eliminamos a coluna 3 em R1,R2,R4. Isso leva a
1 & 0 & 0 & 3+i5 0 & 1 & 0 & 1+2i5 0 & 0 & 1 & 1-3i5 0 & 0 & 0 & -1
no bloco esquerdo.

Passo 5

Finalmente pivotamos na coluna 4: o valor em R4 é -1, então fazemos R4 -R4 para ter pivô 1 e depois eliminamos a coluna 4 em R1,R2,R3. O resultado é
[Imid A^-1],
de onde extraímos diretamente A^-1.

Resposta

A^-1 = dfrac3+i5 & dfrac2-i5 & dfrac2-i5 & dfrac3+i5[6pt] dfrac1+2i5 & dfrac-1-2i5 & dfrac-1+3i5 & dfrac1+2i5[6pt] dfrac-4-3i5 & dfrac-1+3i5 & dfrac-1-2i5 & dfrac1-3i5[6pt] -1+i & 1 & -1+i & -1 ]

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