Ache as antiderivadas usando substituição e as regras básicas para antidiferenciação.
integral t d traizt+1

Passo 1

O enunciado pede encontrar a antiderivada de integral traizt+1,dt. O conteúdo aqui é integração por substituição, além das regras básicas da soma de integrais e da potência.

Passo 2

Para simplificar a raiz, fazemos a substituição u = t + 1. Assim, du = dt e t = u - 1. Isso troca a variável t por u, deixando a integral mais direta.

Passo 3

Reescrevemos a integral em termos de u. Substituindo t = u-1 e dt = du temos:
integral traizt+1,dt = integral u-1raizu,du = integral l(raizu - u^-1/2r),du

Passo 4

Usamos a regra da potência em cada termo: integral u^1/2,du = u^3/23/2 = tfrac23u^3/2 e integral u^-1/2,du = u^1/21/2 = 2u^1/2. Assim a primitiva fica:
23u^3/2 - 2u^1/2 + C

Passo 5

Finalmente voltamos à variável original, substituindo u = t+1. Obtém-se a antiderivada completa.

Resposta

23(t+1)^3/2 - 2(t+1)^1/2 + C

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