Ache a área do círculo r=sen theta, dada em coordenadas polares. Façao mesmo para a região delimitada pela cardioide r=1-sen theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área de duas figuras definidas em coordenadas polares: um círculo dado por r = sin theta e uma cardioide dada por r = 1 - sin theta . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da área em coordenadas polares e entender um pouquinho sobre essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área do círculo r = sin theta . Em coordenadas polares, a área A de uma região delimitada por uma curva r = f(theta) é dada por:
A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta
Onde alpha e beta são os limites do intervalo de theta .
Para o círculo r = sin theta , sabemos que ele completa uma volta completa quando theta vai de 0 a pi , já que sin theta é positivo nesse intervalo e se repete depois. Portanto, os limites de integração serão de 0 a pi .
Agora, substituindo na fórmula:
A = 12 integral0^pi (sin theta)^2 , dtheta
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2
Então:
A = 12 integral0^pi 1 - cos(2theta)2 , dtheta = 14 integral0^pi (1 - cos(2theta)) , dtheta
Integrando termo a termo:
A = 14 [ theta - sin(2theta)2 ]0^pi = 14 [ pi - 0 ] = pi4

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da cardioide r = 1 - sin theta . Usando a mesma fórmula da área em coordenadas polares:
A = 12 integral0^2pi (1 - sin theta)^2 , dtheta
Expandindo o quadrado:
(1 - sin theta)^2 = 1 - 2sin theta + sin^2 theta
Então, a integral fica:
A = 12 integral0^2pi (1 - 2sin theta + sin^2 theta) , dtheta
Vamos integrar cada termo separadamente:
A = 12 [ integral0^2pi 1 , dtheta - 2 integral0^2pi sin theta , dtheta + integral0^2pi sin^2 theta , dtheta ]
Calculando cada integral:
  1. integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
  2. integral0^2pi sin theta , dtheta = 0 (porque seno é função ímpar e o intervalo é simétrico)
  3. integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi (usando a mesma identidade trigonométrica que usamos antes)
Substituindo de volta:
A = 12 [ 2pi - 0 + pi ] = 12 times 3pi = 3pi2

Resposta

A área do círculo r = sin theta é dfracpi4 e a área da cardioide r = 1 - sin theta é dfrac3pi2 .

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