Ache a área do círculo
, dada em coordenadas polares. Façao mesmo para a região delimitada pela cardioide
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área de duas figuras definidas em coordenadas polares: um círculo dado por
e uma cardioide dada por
. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da área em coordenadas polares e entender um pouquinho sobre essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área do círculo
. Em coordenadas polares, a área
de uma região delimitada por uma curva
é dada por:
Onde
e
são os limites do intervalo de
.
Para o círculo
, sabemos que ele completa uma volta completa quando
vai de
a
, já que
é positivo nesse intervalo e se repete depois. Portanto, os limites de integração serão de
a
.
Agora, substituindo na fórmula:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Integrando termo a termo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da cardioide
. Usando a mesma fórmula da área em coordenadas polares:
Expandindo o quadrado:
Então, a integral fica:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Calculando cada integral:
-
-
(porque seno é função ímpar e o intervalo é simétrico) -
(usando a mesma identidade trigonométrica que usamos antes)
Substituindo de volta:
Resposta
A área do círculo
é
e a área da cardioide
é
.