Use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
L^-11s^3+5 s

Passo 1

O enunciado pede L^-11/(s^3+5s). O conteúdo é decomposição em frações parciais e aplicação do Teorema 7.2.1 (inversão de Laplace termo a termo). Vamos fatorar o denominador e depois usar frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
s^3 + 5s = s,(s^2 + 5)
Logo queremos inverter
1s(s^2+5)

Passo 3

Propomos a decomposição em frações parciais:
1s(s^2+5) = As + B,s + Cs^2 + 5

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por s(s^2+5) e obtemos
1 = A,(s^2+5) + (B,s + C),s = (A + B),s^2 + C,s + 5A
Agora igualamos coeficientes de potências de s:
s^2: A + B = 0
s^1: C = 0
s^0: 5A = 1

Passo 5

Daí vêm
A = 15, B = -A = -15, C = 0

Passo 6

Substituindo em frações parciais:
1s(s^2+5) = 1/5s - 1/5,ss^2+5

Passo 7

Agora aplicamos a inversa termo a termo, usando
L^-11/s=1 e
L^-1s/(s^2+5)=cos(raiz5,t).
Logo
L^-1l1s(s^2+5)r = 15cdot 1 ;-;15,cos(raiz5,t)

Resposta

L^-1l1s^3+5sr = 15;-;15cosl(raiz5,tr)

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