Considere um campo vetorial
definido sobre um aberto
, exceto possivelmente em
. Denote por
um disco centrado em
com raio igual a
, e seja
a fronteira de
, orientada no sentido anti-horário. Podemos calcular
em todo ponto
, mesmo que
não esteja definido em
, através da relação
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
definido em uma região aberta
do plano, exceto possivelmente em um ponto específico
. A questão quer que a gente calcule uma função
, que envolve as derivadas parciais de
e
, usando uma relação que envolve um limite de uma integral de linha sobre um círculo
com raio
centrado em
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial como campos vetoriais, integrais de linha e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Ela é definida por:
Isso significa que
mede a diferença entre a derivada de
em relação a
e a derivada de
em relação a
. Essa expressão é conhecida como a rotacional do campo vetorial
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a relação que a questão nos dá:
Aqui,
é a integral de linha de
ao longo da curva
, que é a fronteira do disco
com raio
centrado em
. A "área
" é simplesmente a área desse disco, que é
.
Passo 4
Para conectar essas duas expressões, vamos usar o Teorema de Green. O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região
delimitada por :
Perceba que o lado direito desta equação é exatamente
.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Green ao nosso caso, temos:
Então, substituindo na relação dada:
Passo 6
Agora, vamos interpretar essa expressão. Como estamos tirando o limite quando
tende a 0, estamos basicamente olhando para o comportamento de
em um ponto
. Se
for contínua em
, então a média de
sobre o disco
vai se aproximar de
conforme o raio
diminui.
Passo 7
Portanto, concluímos que:
Isso mostra que mesmo que o campo vetorial
não esteja definido em
, podemos calcular
usando essa relação envolvendo o limite da integral de linha sobre círculos cada vez menores ao redor de
.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Isso confirma que
pode ser calculada usando a integral de linha sobre
quando
tende a zero.