Considere um campo vetorial vecF(x, y)=P(x, y) i+Q(x, y) j definido sobre um aberto Omega subset R^2, exceto possivelmente em p=(x0, y0) in Omega. Denote por Da subset Omega um disco centrado em p com raio igual a a, e seja Ca a fronteira de Da, orientada no sentido anti-horário. Podemos calcular
psi(x, y)=partial Qpartial x(x, y)-partial Ppartial y(x, y)
em todo ponto p in Omega, mesmo que F não esteja definido em p, através da relação
lim a 0 ointCa F bul<=t d r área D(a)=psi(p) á

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j definido em uma região aberta Omega do plano, exceto possivelmente em um ponto específico p = (x0, y0). A questão quer que a gente calcule uma função psi(x, y), que envolve as derivadas parciais de P e Q, usando uma relação que envolve um limite de uma integral de linha sobre um círculo Ca com raio a centrado em p. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial como campos vetoriais, integrais de linha e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é psi(x, y). Ela é definida por:
psi(x, y) = partial Qpartial x(x, y) - partial Ppartial y(x, y)
Isso significa que psi mede a diferença entre a derivada de Q em relação a x e a derivada de P em relação a y. Essa expressão é conhecida como a rotacional do campo vetorial F.

Passo 3

Agora, vamos analisar a relação que a questão nos dá:
lima 0 ointCa F cdot drárea D(a) = psi(p) á
Aqui, ointCa F cdot dr é a integral de linha de F ao longo da curva Ca, que é a fronteira do disco Da com raio a centrado em p. A "área D(a)" é simplesmente a área desse disco, que é pi a^2.

Passo 4

Para conectar essas duas expressões, vamos usar o Teorema de Green. O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por :
Perceba que o lado direito desta equação é exatamente .

Passo 5

Aplicando o Teorema de Green ao nosso caso, temos:
ointCa F cdot dr = integral duplaDa psi(x, y) , dA
Então, substituindo na relação dada:
lima 0 integral duplaDa psi(x, y) , dApi a^2 = psi(p)

Passo 6

Agora, vamos interpretar essa expressão. Como estamos tirando o limite quando a tende a 0, estamos basicamente olhando para o comportamento de psi(x, y) em um ponto p. Se psi for contínua em p, então a média de psi(x, y) sobre o disco Da vai se aproximar de psi(p) conforme o raio a diminui.

Passo 7

Portanto, concluímos que:
lima 0 ointCa F cdot drpi a^2 = psi(p)
Isso mostra que mesmo que o campo vetorial F não esteja definido em p, podemos calcular psi(p) usando essa relação envolvendo o limite da integral de linha sobre círculos cada vez menores ao redor de p.

Resposta

Portanto, mostramos que:
lima 0 ointCa F cdot drárea D(a) = psi(p) á
Isso confirma que psi(p) pode ser calculada usando a integral de linha sobre Ca quando a tende a zero.

Exercícios relacionados