Determinar a área no quarto quadrante, limitada pela parábola e pela reta . Sugestão: Faça e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área no quarto quadrante (onde e ), que está limitada por uma parábola e uma reta. As equações que definem essas curvas são:
Parábola:
Reta:
Para facilitar, a sugestão é fazermos uma mudança de variáveis: e . Com isso, vamos conseguir simplificar as equações e encontrar os limites de integração para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
Isso nos ajuda a transformar as equações originais em termos de e , tornando mais fácil resolver para e depois.
Passo 3
Vamos reescrever as equações dadas usando as novas variáveis e :
Parábola:
Reta:
Agora temos as duas curvas em termos de e , o que simplifica bastante a visualização da região que queremos calcular.
Passo 4
Para encontrar os limites de , vamos determinar onde a parábola e a reta se interceptam. Igualando :
Então, varia de 0 até .
Passo 5
Agora, vamos expressar e em termos de e . Temos:
Resolvendo esse sistema para e :
Passo 6
Para calcular a área, precisamos do determinante da transformação para mudar as coordenadas de para . O Jacobiano é dado por:
Então, o valor absoluto do Jacobiano é | J | = 12.
Passo 7
A área A pode ser calculada integrando sobre v e u usando os limites que encontramos. A expressão para a área é:
A = integralv=0^raiz3 integralu=v^2 + 1^u=4 | J | , du , dv = integral0^raiz3 integralv^2 + 1^4 12 , du , dv