Determinar a área no quarto quadrante, limitada pela parábola x-y=(x+y)^2+1 e pela reta x-y=4. Sugestão: Faça u=x-y e v=x+y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área no quarto quadrante (onde x > 0 e y > 0), que está limitada por uma parábola e uma reta. As equações que definem essas curvas são:
  • Parábola: x - y = (x + y)^2 + 1
  • Reta: x - y = 4
Para facilitar, a sugestão é fazermos uma mudança de variáveis: u = x - y e v = x + y. Com isso, vamos conseguir simplificar as equações e encontrar os limites de integração para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
u = x - y v = x + y
Isso nos ajuda a transformar as equações originais em termos de u e v, tornando mais fácil resolver para x e y depois.

Passo 3

Vamos reescrever as equações dadas usando as novas variáveis u e v:
  1. Parábola:
u = v^2 + 1
  1. Reta:
u = 4
Agora temos as duas curvas em termos de u e v, o que simplifica bastante a visualização da região que queremos calcular.

Passo 4

Para encontrar os limites de v, vamos determinar onde a parábola e a reta se interceptam. Igualando u:
v^2 + 1 = 4 v^2 = 3 v = raiz3 (como estamos no quarto quadrante, consideramos v > 0)
Então, v varia de 0 até raiz3.

Passo 5

Agora, vamos expressar x e y em termos de u e v. Temos:
u = x - y v = x + y
Resolvendo esse sistema para x e y:
x = u + v2 y = v - u2

Passo 6

Para calcular a área, precisamos do determinante da transformação para mudar as coordenadas de (x, y) para (u, v). O Jacobiano J é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 12 & 12 -12 & 12 = (12 times 12) - (12 times -12) = 14 + 14 = 12
Então, o valor absoluto do Jacobiano é | J | = 12.

Passo 7

A área A pode ser calculada integrando sobre v e u usando os limites que encontramos. A expressão para a área é:
A = integralv=0^raiz3 integralu=v^2 + 1^u=4 | J | , du , dv = integral0^raiz3 integralv^2 + 1^4 12 , du , dv

Passo 8

Vamos integrar primeiro em relação a u:
integralv^2 + 1^4 12 , du = 12 (4 - (v^2 + 1)) = 12 (3 - v^2)
Então, a integral se torna:
A = integral0^raiz3 3 - v^22 , dv = 12 integral0^raiz3 (3 - v^2) , dv

Passo 9

Agora, vamos integrar em relação a v:
12 integral0^raiz3 (3 - v^2) , dv = 12 [ 3v - v^33 ]0^raiz3 = 12 ( 3raiz3 - (raiz3)^33 ) = 12 ( 3raiz3 - 3raiz33 ) = 12 ( 3raiz3 - raiz3 ) = 12 times 2raiz3 = raiz3

Resposta

A área no quarto quadrante limitada pela parábola x - y = (x + y)^2 + 1 e pela reta x - y = 4 é raiz3 unidades de área.

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