Seja
uma curva fechada, orientada positivamente, limitando uma região do plano
, de área
. Verifique que, se
e
são constantes reais, então
Use este resultado para calcular o valor da integral
sobre a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre calcular uma integral de linha sobre uma curva fechada
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente Integrais de Linha e Teorema de Green. Para resolver isso, vamos usar uma fórmula que relaciona a integral de linha com a área
limitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que o exercício nos dá:
Isso significa que, se temos uma integral de linha dessa forma, ela é igual a
vezes a área
da região delimitada pela curva
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores de
e
na integral que nos deram:
Comparando com a fórmula geral, temos:
-
-
-
(não tem termo constante) -
-
-
(não tem termo constante)
Passo 4
Com esses valores, vamos aplicar a fórmula:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a área
limitada pela curva
. A curva
é composta por três partes:
-
de a -
de a -
de a
Essa configuração forma uma região fechada no plano
.
Passo 6
Para calcular a área
, vamos visualizar a região. A curva
vai de
a
. Depois, a curva
desce de
a
, e finalmente a linha
vai de
de volta a
.
A área
é a soma da área sob a parábola
de
a
e a área do retângulo formado por
,
a
.
Passo 7
Calculando a área sob a parábola:
A área do retângulo:
Então, a área total
é:
Passo 8
Voltando à nossa integral:
Resposta
O valor da integral é
.