Seja C uma curva fechada, orientada positivamente, limitando uma região do plano x y, de área A. Verifique que, se a1, a2, a3, b1, b2 e b3 são constantes reais, então
ointC(a1 x+a2 y+a3) d x+(b1 x+b2 y+b3) d y=(b1-a2) A
Use este resultado para calcular o valor da integral ointC(2 x+y) d x+(-x+2 y) d y sobre a curva C=(x, y) mid y= x^2, 0 <= x <= 1 cup(x, y) mid y=0,0 <= x <= 1 cup(x, y) ; x=1,0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre calcular uma integral de linha sobre uma curva fechada C . A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, mais especificamente Integrais de Linha e Teorema de Green. Para resolver isso, vamos usar uma fórmula que relaciona a integral de linha com a área A limitada pela curva C .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que o exercício nos dá:
ointC(a1 x+a2 y+a3) dx + (b1 x+b2 y+b3) dy = (b1 - a2) A
Isso significa que, se temos uma integral de linha dessa forma, ela é igual a (b1 - a2) vezes a área A da região delimitada pela curva C .

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de a1, a2, a3, b1, b2 e b3 na integral que nos deram:
ointC (2x + y) dx + (-x + 2y) dy
Comparando com a fórmula geral, temos:
  • a1 = 2
  • a2 = 1
  • a3 = 0 (não tem termo constante)
  • b1 = -1
  • b2 = 2
  • b3 = 0 (não tem termo constante)

Passo 4

Com esses valores, vamos aplicar a fórmula:
ointC (2x + y) dx + (-x + 2y) dy = (b1 - a2) A
Substituindo os valores:
(b1 - a2) = (-1) - (1) = -2
Então,
ointC (2x + y) dx + (-x + 2y) dy = -2A

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a área A limitada pela curva C . A curva C é composta por três partes:
  1. y = x^2 de x = 0 a x = 1
  2. y = 0 de x = 1 a x = 0
  3. x = 1 de y = 0 a y = 1
Essa configuração forma uma região fechada no plano xy .

Passo 6

Para calcular a área A , vamos visualizar a região. A curva y = x^2 vai de (0,0) a (1,1) . Depois, a curva x = 1 desce de (1,1) a (1,0) , e finalmente a linha y = 0 vai de (1,0) de volta a (0,0) .
A área A é a soma da área sob a parábola y = x^2 de x = 0 a x = 1 e a área do retângulo formado por x = 1 , y = 0 a y = 1 .

Passo 7

Calculando a área sob a parábola:
Aparábola = integral0^1 x^2 dx = [ x^33 ]0^1 = 13 á
A área do retângulo:
Aretângulo = 1 times 1 = 1 â
Então, a área total A é:
A = Aparábola + Aretângulo = 13 + 1 = 43 áâ

Passo 8

Voltando à nossa integral:
ointC (2x + y) dx + (-x + 2y) dy = -2A = -2 times 43 = -83

Resposta

O valor da integral é -dfrac83.

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