Ache a área delimitada pela curva , o eixo a reta .
(243 u. a.)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área delimitada pela curva y=x^2+6x+9, pelo eixo x e pela reta x=6. O conteúdo é cálculo de área sob curva usando integral definida: a gente vai determinar onde a curva cruza o eixo x e depois calcular a integral definida desse trecho.

Passo 2

Para achar os limites de integração, resolvemos y=0:
(x+3)^2=0
Logo x=-3. A parábola y=(x+3)^2 fica acima do eixo x para x>-3, então a região está entre x=-3 e x=6.

Passo 3

A área sob a curva e acima do eixo x de x=-3 até x=6 é dada pela integral definida
integral-3^6(x^2+6x+9),dx

Passo 4

Agora calculamos a primitiva de x^2+6x+9. Sabemos que
integral x^2,dx=x^33, integral6x,dx=3x^2, integral9,dx=9x
Portanto escolhemos
F(x)=x^33+3x^2+9x

Passo 5

Avaliamo-la nos limites de integração:
F(6)=6^33+3cdot6^2+9cdot6=72+108+54=234,
F(-3)=(-3)^33+3cdot(-3)^2+9cdot(-3)=-9+27-27=-9
A área é
F(6)-F(-3)=234-(-9)=243

Resposta

243 u. a.

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