Ache a área delimitada por um laço da curva dada.
r^2=4 cos (2 theta)

Passo 1

O enunciado pede a área de um laço da curva em coordenadas polares dada por
r^2=4cos(2theta)
Aqui o conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares. Vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares e determinar primeiro o intervalo de theta que gera um laço.

Passo 2

Para existir ponto real em r precisamos de
r^2=4cos(2theta)>=0 Longrightarrow cos(2theta)>=0
Isso ocorre quando
-,tfracpi4<=theta<=tfracpi4
(esse intervalo gera o laço “direito” da lemniscata).

Passo 3

A fórmula da área em coordenadas polares é
A=12integraltheta1^theta2r^2,dtheta
Substituindo r^2=4cos(2theta) e os limites de -tfracpi4 a tfracpi4, vem
A =12integral-pi/4^pi/44cos(2theta),dtheta =2integral-pi/4^pi/4cos(2theta),dtheta

Passo 4

Calculando o integral,
integralcos(2theta),dtheta =12sin(2theta),
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A =2l[12sin(2theta)r]-pi/4^pi/4 =l[sin(2theta)r]-pi/4^pi/4 =sinl(tfracpi2r)-sinl(-tfracpi2r) =1-(-1)=2

Resposta

A área de um laço da curva é 2.

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