Ache a área delimitada por um laço da curva dada.
r=3 sen(3 theta)

Passo 1

O enunciado pede a área de um laço da curva dada em coordenadas polares por
r = 3sin(3theta)
O conteúdo principal aqui é o cálculo de área em coordenadas polares, cuja fórmula é
A = 12 integraltheta1^theta2 r^2 ,dtheta

Passo 2

Para achar um laço basta ver onde r=0 e onde r volta a zero mudando de sinal.
r=3sin(3theta)=0 Longrightarrow 3theta = kpi Longrightarrow theta = kpi3,;kinZ
Num intervalo de comprimento 2pi, os zeros ocorrem em theta=0,pi3,2pi3,dots.
Como sin(3theta) é positivo em 0<3theta<pi, vemos que um laço corresponde a
0 <= theta <= pi3

Passo 3

Então a área de um laço vem de
A = 12 integral0^pi/3 l(3sin(3theta)r)^2 ,dtheta = 12 integral0^pi/3 9sin^2(3theta),dtheta = 92integral0^pi/3 sin^2(3theta),dtheta

Passo 4

Usamos a identidade
sin^2 u = 1-cos(2u)2
com u=3theta. Assim
sin^2(3theta)=1-cos(6theta)2,
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A = 92integral0^pi/3 1-cos(6theta)2,dtheta = 94integral0^pi/3l(1-cos(6theta)r),dtheta

Passo 5

Integral direta:
integrall(1-cos(6theta)r)dtheta = theta - sin(6theta)6
Avaliaremos de 0 a pi/3. Note que sinl(6cdotpi3r)=sin(2pi)=0 e sin(0)=0.
Então
A = 94l[theta - tfracsin(6theta)6r]0^pi/3 = 94l(pi3-0r) = 9pi12 = 3pi4

Resposta

A área de um laço da curva r=3sin(3theta) é 3pi4.

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