Ache a área da parte da superfície esférica
que está dentro do parabolóide
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte da superfície de uma esfera definida por
que está dentro de um parabolóide dado por
.
Aqui, a matéria envolvida é geometria espacial, especificamente áreas de superfícies curvas. Vamos precisar usar algumas equações básicas de superfícies como a esfera e o parabolóide, além de integrar para achar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera para entender melhor sua forma. A equação
pode ser reescrita completando o quadrado para
:
Isso mostra que a esfera tem centro no ponto
e raio 2.
Passo 3
Agora, vamos analisar o parabolóide
. Essa é uma superfície parabólica que abre na direção positiva do eixo
.
Para saber onde a esfera está dentro do parabolóide, precisamos encontrar a interseção dessas duas superfícies.
Passo 4
Vamos substituir
da equação do parabolóide na equação da esfera. Como
, substituindo na esfera:
Então, as interseções ocorrem quando
ou
.
Passo 5
Vamos considerar
porque
não faz sentido no contexto, já que o parabolóide começa a partir de
. Assim, a interseção ocorre no plano
.
Agora, sabemos que a área que queremos calcular está na esfera acima de
.
Passo 6
Para calcular a área da parte da esfera acima de
, podemos usar a fórmula da área esférica em coordenadas esféricas. A área
de uma área esférica limitada por um ângulo polar
é dada por:
Onde
é o raio da esfera.
Passo 7
Primeiro, identificamos o ângulo
. Na esfera
, o ponto de interseção está em
. A distância do centro da esfera
até
é 1, que é a altura
do segmento esférico.
A relação entre
,
e
é:
Então,
.
Passo 8
Agora, aplicamos na fórmula da área:
Resposta
A área da parte da superfície esférica que está dentro do parabolóide é
.