Ache a área da parte da superfície esférica x^2+y^2+z^2=4 z que está dentro do parabolóide x^2+y^2=3 z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte da superfície de uma esfera definida por x^2 + y^2 + z^2 = 4z que está dentro de um parabolóide dado por x^2 + y^2 = 3z.
Aqui, a matéria envolvida é geometria espacial, especificamente áreas de superfícies curvas. Vamos precisar usar algumas equações básicas de superfícies como a esfera e o parabolóide, além de integrar para achar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera para entender melhor sua forma. A equação x^2 + y^2 + z^2 = 4z pode ser reescrita completando o quadrado para z:
x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0 x^2 + y^2 + (z^2 - 4z) = 0 x^2 + y^2 + (z - 2)^2 - 4 = 0 x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 4
Isso mostra que a esfera tem centro no ponto (0, 0, 2) e raio 2.

Passo 3

Agora, vamos analisar o parabolóide x^2 + y^2 = 3z. Essa é uma superfície parabólica que abre na direção positiva do eixo z.
Para saber onde a esfera está dentro do parabolóide, precisamos encontrar a interseção dessas duas superfícies.

Passo 4

Vamos substituir x^2 + y^2 da equação do parabolóide na equação da esfera. Como x^2 + y^2 = 3z, substituindo na esfera:
3z + (z - 2)^2 = 4 3z + z^2 - 4z + 4 = 4 z^2 - z = 0 z(z - 1) = 0
Então, as interseções ocorrem quando z = 0 ou z = 1.

Passo 5

Vamos considerar z = 1 porque z = 0 não faz sentido no contexto, já que o parabolóide começa a partir de z = 0. Assim, a interseção ocorre no plano z = 1.
Agora, sabemos que a área que queremos calcular está na esfera acima de z = 1.

Passo 6

Para calcular a área da parte da esfera acima de z = 1, podemos usar a fórmula da área esférica em coordenadas esféricas. A área A de uma área esférica limitada por um ângulo polar phi é dada por:
A = 2pi R^2 (1 - cos phi)
Onde R é o raio da esfera.

Passo 7

Primeiro, identificamos o ângulo phi. Na esfera x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 4, o ponto de interseção está em z = 1. A distância do centro da esfera (0, 0, 2) até z = 1 é 1, que é a altura h do segmento esférico.
A relação entre h, R e phi é:
h = R (1 - cos phi) 1 = 2 (1 - cos phi) cos phi = 12
Então, phi = pi3.

Passo 8

Agora, aplicamos na fórmula da área:
A = 2pi (2)^2 (1 - cos (pi3)) A = 8pi (1 - 12) A = 8pi (12) A = 4pi

Resposta

A área da parte da superfície esférica que está dentro do parabolóide é 4pi.

Exercícios relacionados