Determine se a série é convergente ou divergente expressando sn como uma soma telescópica. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 1n(n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita: sumn=1^infty 1n(n+1). Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor final que ela se aproxima) ou diverge (não tem um valor específico). Para isso, vamos usar algo chamado soma telescópica, que é uma técnica legal para simplificar esse tipo de série. Vamos precisar mexer um pouco com frações e entender como elas podem “se desmontar” para facilitar a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o termo geral 1n(n+1) em uma diferença de duas frações mais simples. Isso se chama frações parciais. A ideia é escrever 1n(n+1) como An + Bn+1.
Então, temos:
1n(n+1) = An + Bn+1
Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados por n(n+1):
1 = A(n+1) + Bn
Agora, vamos escolher valores de n para facilitar. Se n = -1:
1 = A(0) + B(-1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1
E se n = 0:
1 = A(1) + B(0) Rightarrow 1 = A Rightarrow A = 1
Então, 1n(n+1) = 1n - 1n+1.

Passo 3

Agora que a gente expressou o termo geral como 1n - 1n+1, vamos ver como fica a soma dos primeiros N termos:
SN = sumn=1^N ( 1n - 1n+1 )
Vamos escrever alguns termos para ver o padrão:
SN = ( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + dots + ( 1N - 1N+1 )
Aí, dá pra ver que vários termos se cancelam. Por exemplo, -12 cancela com +12, -13 com +13, e assim por diante.

Passo 4

Depois de cancelar os termos que se repetem, só sobra:
SN = 1 - 1N+1
Agora, queremos saber o que acontece quando N vai para o infinito. Então, vamos calcular o limite de SN quando N tende ao infinito:
limN to infty SN = limN to infty (1 - 1N+1) = 1 - 0 = 1
Isso significa que a soma da série inteira é 1.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n(n+1) é convergente e a sua soma é igual a 1.

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