Determine se a série é convergente ou divergente expressando
como uma soma telescópica. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita:
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor final que ela se aproxima) ou diverge (não tem um valor específico). Para isso, vamos usar algo chamado soma telescópica, que é uma técnica legal para simplificar esse tipo de série. Vamos precisar mexer um pouco com frações e entender como elas podem “se desmontar” para facilitar a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar o termo geral
em uma diferença de duas frações mais simples. Isso se chama frações parciais. A ideia é escrever
como
.
Então, temos:
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Agora, vamos escolher valores de
para facilitar. Se
:
E se
:
Então,
.
Passo 3
Agora que a gente expressou o termo geral como
, vamos ver como fica a soma dos primeiros
termos:
Vamos escrever alguns termos para ver o padrão:
Aí, dá pra ver que vários termos se cancelam. Por exemplo,
cancela com
,
com
, e assim por diante.
Passo 4
Depois de cancelar os termos que se repetem, só sobra:
Agora, queremos saber o que acontece quando
vai para o infinito. Então, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso significa que a soma da série inteira é 1.
Resposta
A série
é convergente e a sua soma é igual a 1.