Seja f(x)=-xx^2-4
Encontre, caso existam, os pontos de mé crescente e onde é decrescente;

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=-xx^2-4
e pede para determinar onde ela é crescente ou decrescente. O conteúdo aqui é monotonicidade de função via derivada: calculamos f'(x), estudamos o domínio e o sinal de f'(x).

Passo 2

Antes de derivar, identificamos o domínio. A função existe sempre que o denominador não for zero:
x^2-4neq0 Longrightarrow xneqpm2
Logo o domínio é (-infty,-2)cup(-2,2)cup(2,infty).

Passo 3

Usamos a regra do quociente: se f(x)=u(x)v(x) então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Aqui u(x)=-x e v(x)=x^2-4, então u'(x)=-1 e v'(x)=2x. Substituindo,
f'(x) =(-1),(x^2-4)-(-x),(2x)(x^2-4)^2

Passo 4

Simplificamos o numerador:
(-1)(x^2-4)-(-x)(2x) =-x^2+4+2x^2 =x^2+4
Portanto
f'(x)=x^2+4(x^2-4)^2

Passo 5

Analisamos o sinal de f'(x):
  1. O numerador x^2+4 é sempre positivo para todo x.
  2. O denominador (x^2-4)^2 também é sempre positivo (salvo em x=pm2, que estão fora do domínio).
    Logo f'(x)>0 em cada intervalo de definição. Assim, não há pontos em que f'(x)=0 nem troca de sinal.

Resposta

A função é estritamente crescente em cada componente do domínio:
(-infty,-2),(-2,2),(2,infty)
Não há intervalo em que seja decrescente.

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