Calcule integralegral duplaR raizx^2+y^2 d R sendo R a região limitada pelas curvas x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaR raizx^2+y^2;dR
onde R é o anel limitado pelos círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
o elemento de área fica dR = r,dr,dtheta e a região R é dada por
1 <= r <= 2, 0 <= theta <= 2pi

Passo 3

Como raizx^2+y^2 = r, o integrando com o Jacobiano vira rcdot r = r^2. Assim
integral duplaR raizx^2+y^2;dR =integral0^2pi!integral1^2r^2,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
integral1^2r^2,dr =[r^33]1^2 =2^3-1^33 =73

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^2pi73,dtheta =73cdot2pi =14pi3

Resposta

14pi3

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