Ache a área da região delimitada pelos gráficos de y=x^{3} e y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelos gráficos de y = x^3 e y = x^2. Para resolver, vamos achar os pontos de interseção dessas curvas e depois usar o método de integração definida da diferença entre a curva superior e a inferior.

Passo 2

Para encontrar as interseções, igualamos
x^3 = x^2
que implica
x^3 - x^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2(x-1)=0.
Logo, os pontos de interseção são x=0 e x=1.

Passo 3

Na faixa de x entre 0 e 1, observa-se que x^2 \ge x^3. Assim, a área A entre as curvas é
A = \int_{0}^{1}\bigl(x^2 - x^3\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{1} x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3},
\int_{0}^{1} x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Portanto,
A = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.

Resposta

\tfrac{1}{12}

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