Calcule
\int 2 x \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int 2 x \cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Esse é um caso clássico de integração por substituição, pois dentro do cosseno temos x^{2} e multiplicando vem exatamente sua derivada 2x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} \qquad\Longrightarrow\qquad du = 2x\,dx.
Assim o diferencial 2x\,dx é exatamente du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u, temos
\int 2 x \cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,du.
Agora basta integrar o cosseno.

Passo 4

A integral de \cos(u) é \sin(u), logo
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C.
Voltando à variável original, u = x^{2}.

Resposta

\sin\!\bigl(x^{2}\bigr) + C

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