Uma pedra é atirada para cima a partir do solo. A velocidade da pedra, em qualquer instante t durante o seu movimento, é v(t)=14-2 t \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine:
a) O deslocamento da pedra durante o período de tempo 0 \leq t \leq 10.
b) A distância total percorrida durante esse período de tempo.

Passo 1

O enunciado diz que uma pedra é lançada verticalmente com velocidade \,v(t)=14-2t (em m/s) e pede, para 0\le t\le10, o deslocamento e a distância total percorrida. O conteúdo aqui é cálculo de integrais definidas e, no caso da distância, integração de valor absoluto de velocidade.

Passo 2

Para obter o deslocamento usamos
\Delta s = \int_{0}^{10} v(t)\,dt = \int_{0}^{10} (14 - 2t)\,dt.
Calculando,
\int_{0}^{10} (14 - 2t)\,dt = \bigl[14t - t^2\bigr]_{0}^{10} = (140 - 100) - 0 = 40.
Portanto, o deslocamento é 40 m.

Passo 3

Para a distância total precisamos integrar |v(t)|. Primeiro determinamos quando a velocidade muda de sinal resolvendo
14 - 2t = 0
o que dá t=7 s.

Passo 4

No intervalo 0\le t\le7, v(t)\ge0, então
d_1 = \int_{0}^{7} (14 - 2t)\,dt = \bigl[14t - t^2\bigr]_{0}^{7} = 98 - 49 = 49 \text{ m}.
No intervalo 7\le t\le10, v(t)\le0, logo |v(t)|=2t-14 e
d_2 = \int_{7}^{10} (2t - 14)\,dt = \bigl[t^2 - 14t\bigr]_{7}^{10} = (-40) - (-49) = 9 \text{ m}.

Passo 5

Somando as duas partes, a distância total percorrida é
d_{\text{total}} = d_1 + d_2 = 49 + 9 = 58 \text{ m}.

Resposta

(a) O deslocamento é 40 m.
(b) A distância total percorrida é 58 m.

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