Encontre todas as soluções da equação diofantina linear
17 x+13 y=100

Passo 1

O enunciado pede todas as soluções inteiras da equação diofantina linear
17x+13y=100
Para isso vamos verificar se \gcd(17,13) divide 100, usar o algoritmo de Euclides estendido para achar uma solução particular e depois escrever a forma geral.

Passo 2

Calculamos \gcd(17,13) pelo algoritmo de Euclides:
17 = 1\cdot 13 + 4
13 = 3\cdot 4 + 1
4 = 4\cdot 1 + 0
Portanto \gcd(17,13)=1.

Passo 3

Como 1 divide 100, existe solução. Agora usamos o Euclides estendido para encontrar x_1,y_1 tais que
17x_1+13y_1=1
Do cálculo acima temos
1=13-3\cdot 4
4=17-1\cdot13
Substituindo,
1=13-3\cdot(17-13)=4\cdot13-3\cdot17
Logo uma solução para a equação reduzida é x_1=-3, y_1=4.

Passo 4

Multiplicamos essa solução por 100 para atender à equação original:
x_0=-3\cdot100=-300,\quad y_0=4\cdot100=400
De fato \,17\cdot(-300)+13\cdot400=-5100+5200=100.

Passo 5

A forma geral das soluções de ax+by=c quando d=\gcd(a,b) é
x=x_0+\frac{b}{d}t,\quad y=y_0-\frac{a}{d}t,\quad t\in\mathbb{Z}
Aqui d=1, a=17, b=13, então
x=-300+13t,\quad y=400-17t,\quad t\in\mathbb{Z}

Resposta

A família de soluções inteiras é
x=-300+13t,\quad y=400-17t,\quad t\in\mathbb{Z}

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