Encontre todas as soluções da equação diofantina linear 2 x-6 y+5 z=3.

Passo 1

O enunciado dá a equação diofantina linear
2x - 6y + 5z = 3
e pede todas as soluções inteiras. Vamos usar teoria de equações diofantinas lineares em 3 variáveis: primeiro checar existência via \gcd, depois achar uma solução particular e finalmente resolver a parte homogênea.

Passo 2

Calcular o máximo divisor comum dos coeficientes:
d = \gcd(2,\,-6,\,5) = \gcd(\gcd(2,6),5) = \gcd(2,5) = 1.
Como d=1 divide 3, existem soluções inteiras.

Passo 3

Procurar uma solução particular (x_0,y_0,z_0). Escolhemos y=0 e z=1, então
2x - 6\cdot0 + 5\cdot1 = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 5 = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2x = -2 \quad\Longrightarrow\quad x = -1.
Logo uma solução particular é
(x_0,y_0,z_0) = (-1,\,0,\,1).

Passo 4

Resolver a equação homogênea
2\,\Delta x - 6\,\Delta y + 5\,\Delta z = 0.
Reescrevendo,
2\,\Delta x = 6\,\Delta y - 5\,\Delta z \quad\Longrightarrow\quad \Delta x = 3\,\Delta y - \tfrac52\,\Delta z.
Para \Delta x inteiro, \Delta z deve ser par. Ponha \Delta y = m e \Delta z = 2n com m,n\in\mathbb{Z}. Então
\Delta x = 3m - 5n.
Assim o vetor solução da homogênea é
(\Delta x,\Delta y,\Delta z) = (3m,m,0) + (-5n,0,2n).

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma da particular com a homogênea:
(x,y,z) = (-1,0,1) + m\,(3,1,0) + n\,(-5,0,2), \qquad m,n\in\mathbb{Z}.

Resposta

\{\,(-1+3m-5n,\;m,\;1+2n)\mid m,n\in\mathbb{Z}\}.

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