Ache a área da região limitada pela curva y=x^3-2 x^2-5 x+6, pelo eixo x e pelas retas x=-1 e x=2. (Dica: divida o limite de integração em dois limites, onde a y >= 0 e onde y <= 0.)

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva
y = x^3 - 2x^2 - 5x + 6,
pelo eixo x e pelas retas x=-1 e x=2.
Este problema envolve cálculo de integrais definidas e cuidado com a parte da curva que fica abaixo do eixo x. Para resolver, vamos:
  1. Encontrar onde a curva corta o eixo x em [-1,2].
  2. Determinar em que trechos y>=0 e onde y<=0.
  3. Montar as integrais de área, invertendo o sinal onde y é negativo.

Passo 2

Para achar os cortes com o eixo x, resolvemos
x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0
Testando x=1 vemos que é raiz, então fatoramos:
x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x-1)(x^2-x-6) = (x-1)(x-3)(x+2)
As raízes são x=-2,,1,,3. No intervalo de interesse [-1,2] temos apenas x=1.
Como f(0)=6>0, a curva está acima do eixo para -1<= x<1 e, como f(2)=-4<0, fica abaixo para 1<x<=2.

Passo 3

A área total é
integral-1^1 l(x^3-2x^2-5x+6r),dx ;+; integral1^2 l[-l(x^3-2x^2-5x+6r)r],dx
No primeiro intervalo somamos a integral (curva acima), e no segundo usamos o negativo da integral (curva abaixo) para obter área positiva.

Passo 4

Calculamos a antiderivada
F(x) = integral l(x^3-2x^2-5x+6r),dx = x^44 - 2x^33 - 5x^22 + 6x

Passo 5

Avaliaremos cada integral:
  1. integral-1^1 f(x),dx = F(1)-F(-1) F(1)=14-23-52+6=3712, F(-1)=14+23-52-6=-9112, logo integral-1^1 f(x),dx = 3712 - l(-tfrac9112r) = 12812 = 323
  2. integral1^2 f(x),dx = F(2)-F(1) F(2)=4-163-10+12=23, F(1)=3712,
integral1^2 f(x),dx = 23-3712 = -2912
Como a curva está abaixo do eixo, a área desse trecho é
-integral1^2 f(x),dx = 2912
Somando as duas áreas:
323 + 2912 = 12812 + 2912 = 15712

Resposta

A área da região é 15712.

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