Ache a área da região limitada pela curva
, pelo eixo
e pelas retas
e
. (Dica: divida o limite de integração em dois limites, onde a
e onde
.)
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pela curva
pelo eixo
e pelas retas
e
.
Este problema envolve cálculo de integrais definidas e cuidado com a parte da curva que fica abaixo do eixo . Para resolver, vamos:
Este problema envolve cálculo de integrais definidas e cuidado com a parte da curva que fica abaixo do eixo
- Encontrar onde a curva corta o eixo
em . - Determinar em que trechos
e onde . - Montar as integrais de área, invertendo o sinal onde
é negativo.
Passo 2
Para achar os cortes com o eixo
, resolvemos
Testando
vemos que é raiz, então fatoramos:
As raízes são
. No intervalo de interesse
temos apenas
.
Como , a curva está acima do eixo para
e, como
, fica abaixo para
.
Como
Passo 3
A área total é
No primeiro intervalo somamos a integral (curva acima), e no segundo usamos o negativo da integral (curva abaixo) para obter área positiva.
Passo 4
Calculamos a antiderivada
Passo 5
Avaliaremos cada integral:
-
logo -
Como a curva está abaixo do eixo, a área desse trecho é
Somando as duas áreas:
Resposta
A área da região é
.