Calcule as integrais usando o método das frações parciais.
integral x^3-3 x^2+2 x-3x^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^3-3x^2+2x-3x^2+1,dx
usando o método das frações parciais. Como o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (2), a primeira etapa é fazer a divisão polinomial para transformar em uma parte polinomial mais uma parte própria (fração com grau do numerador menor que o do denominador).

Passo 2

Fazemos a divisão de
x^3-3x^2+2x-3
por
x^2+1
O quociente é x-3 e o resto é x, pois
x^3-3x^2+2x-3 = (x-3)(x^2+1) + x

Passo 3

Com isso, reescrevemos a integral como soma de uma parte polinomial e de uma fração própria:
x^3-3x^2+2x-3x^2+1 = x-3 + xx^2+1
Logo,
integral x^3-3x^2+2x-3x^2+1,dx = integral (x-3),dx + integral xx^2+1,dx

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
  1. integral x,dx = x^22
  2. integral (-3),dx = -3x
  3. Para integral xx^2+1,dx, usamos a substituição u = x^2+1, du = 2x,dx, daí integral xx^2+1,dx = 12integral duu = 12lnl(x^2+1r)

Passo 5

Somando tudo e adicionando a constante de integração C, obtemos
integral x^3-3x^2+2x-3x^2+1,dx = x^22 - 3x + 12lnl(x^2+1r) + C

Resposta

x^22 - 3x + 12lnl(x^2+1r) + C

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