Calcule as integrais usando o método das frações parciais.
integral 2 x^2-1(4 x-1)(x^2+1) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral 2x^2-1(4x-1)(x^2+1),dx
usando o método de frações parciais. O conteúdo é decomposição em frações parciais de função racional, seguida da integração dos termos resultantes.

Passo 2

Procuramos constantes A,B,C tais que
2x^2-1(4x-1)(x^2+1) = A4x-1 + Bx+Cx^2+1
Multiplicando ambos os lados por (4x-1)(x^2+1) obtém-se
2x^2-1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(4x-1)

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A x^2 + A + 4B x^2 + (4C - B)x - C = (A+4B)x^2 + (4C - B)x + (A - C)
Igualando coeficientes a 2x^2+0cdot x -1 resulta no sistema
A + 4B = 2, 4C - B = 0, A - C = -1

Passo 4

Da segunda equação vem B=4C. Da terceira A=C-1. Substituindo na primeira:
(C-1) + 4cdot(4C) = 2 ;Longrightarrow; 17C - 1 = 2 ;Longrightarrow; C = 317
Logo
A = 317 - 1 = -1417, B = 4C = 1217

Passo 5

A integral se escreve
integral l(-tfrac1417,14x-1 + tfrac1217x + tfrac317x^2+1r)dx = -1417!integraldx4x-1 + 1217!integralx,dxx^2+1 + 317!integraldxx^2+1

Passo 6

Calculando cada parte:
-1417integraldx4x-1 = -1417cdot14lnlvert4x-1rvert = -734lnlvert4x-1rvert,
1217integralx,dxx^2+1 = 1217cdottfrac12ln(x^2+1) = 617ln(x^2+1),
317integraldxx^2+1 = 317arctan(x)

Resposta

integral 2x^2-1(4x-1)(x^2+1),dx = 617ln(x^2+1) - 734lnlvert4x-1rvert + 317arctan(x) + C

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