Calcule as seguintes integrais iteradas:
(a)
integral0^1 integral0^pi x sen y d y d x
(b) integral0^1 integralx^2^raizx x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais iteradas em ordem dy,dx:
(a)
integral0^1integral0^pix,sin y,dy,dx
e
(b)
integral0^1integralx^2^raizxx,y,dy,dx
Vamos usar a propriedade de separabilidade e o cálculo direto de primitivas para cada parte interna, e depois integrar em x.

Passo 2

Cálculo da parte interna de (a):
integral0^pix,sin y,dy = xintegral0^pisin y,dy = xl[-cos yr]0^pi = xl[(-cospi)-(-cos0)r] = xl[(-(-1)) -(-1)r] = xcdot2 = 2x

Passo 3

Agora integramos em x:
integral0^12x,dx = 2integral0^1x,dx = 2[x^22]0^1 = 2cdot12 = 1
Portanto, a integral (a) vale 1.

Passo 4

Cálculo da parte interna de (b):
integralx^2^raizxx,y,dy = xintegralx^2^raizxy,dy = x[y^22]y=x^2^y=raizx = xl((raizx)^22-(x^2)^22r) = xl(x2-x^42r) = x^22-x^52

Passo 5

Agora integramos em x:
integral0^1l(x^22-x^52r)dx = 12integral0^1(x^2-x^5),dx = 12l[x^33-x^66r]0^1 = 12l(13-16r) = 12cdot16 = 112
Assim, a integral (b) vale tfrac112.

Resposta

(a) 1
(b) tfrac112

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