Ache a área da região R delimitada por uma laço da lemniscata r^2=a^2 sin (2 theta), a>0.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a área de um dos laços (um “blob”) da lemniscata definida em polares por
r^2 = a^2,sin(2theta), a>0
Aqui o conteúdo principal é coordenadas polares e a fórmula de área em polares:
A=12integral r^2,dtheta
Para resolver a gente vai precisar 1) lembrar dessa fórmula e 2) descobrir de que ângulo a que ângulo a gente varre um laço da curva.

Passo 2

Em coordenadas polares, um ponto no plano é dado por (r,theta). Quando você gira o raio-vetor de theta até theta + dtheta, a área varrida é
dA=tfrac12,r^2,dtheta
Então, pra calcular a área de um pedaço da curva r=f(theta), a gente usa
A=integral dA ;=;12integral r^2(theta),dtheta
Sacou? É igual ao retângulo infinitesimal de base dtheta e “altura” r^2, só que com o tfrac12 porque é um triângulo.

Passo 3

Agora precisamos achar de onde até onde theta descreve um laço dessa lemniscata. Como r^2=a^2sin(2theta)>=0, vale
sin(2theta)>=0 ;Longrightarrow; 2thetain[0,pi]+2kpi ;Longrightarrow; thetain[0,tfracpi2]+kpi
Os dois laços são nos intervalos [0,tfracpi2] e [pi,tfrac3pi2]. Vamos pegar o mais “fácil”, theta de 0 a pi/2.

Passo 4

Bora montar o integral da área de 0 a pi/2:
A =12integral0^pi/2r^2,dtheta =12integral0^pi/2a^2sin(2theta),dtheta =a^22integral0^pi/2sin(2theta),dtheta
Calculemos
integralsin(2theta),dtheta =;-tfrac12cos(2theta) Longrightarrow integral0^pi/2sin(2theta),dtheta =l[-tfrac12cos(2theta)r]0^pi/2 =-tfrac12l(cospi-cos0r) =-tfrac12l(-1-1r) =1
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A=a^22times 1=a^22

Resposta

A área de um laço da lemniscata r^2=a^2sin(2theta) é
boxedA=a^22

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