Ache a área da região
delimitada por uma laço da lemniscata
,
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede a área de um dos laços (um “blob”) da lemniscata definida em polares por
Aqui o conteúdo principal é coordenadas polares e a fórmula de área em polares:
Para resolver a gente vai precisar 1) lembrar dessa fórmula e 2) descobrir de que ângulo a que ângulo a gente varre um laço da curva.
Passo 2
Em coordenadas polares, um ponto no plano é dado por
. Quando você gira o raio-vetor de
até
, a área varrida é
Então, pra calcular a área de um pedaço da curva
, a gente usa
Sacou? É igual ao retângulo infinitesimal de base
e “altura”
, só que com o
porque é um triângulo.
Passo 3
Agora precisamos achar de onde até onde
descreve um laço dessa lemniscata. Como
, vale
Os dois laços são nos intervalos
e
. Vamos pegar o mais “fácil”,
de
a
.
Passo 4
Bora montar o integral da área de
a
:
Calculemos
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Resposta
A área de um laço da lemniscata
é