Exercício 15 Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola e dado por
(a) Encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial. Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
Isso é um oscilador harmônico simples sem amortecimento. O conteúdo da matéria é solução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico para achar a solução geral e depois impor as condições iniciais.
Passo 2
Formamos o polinômio característico associado a
que é
As raízes são
Portanto, a solução geral é
Passo 3
Usamos as condições iniciais para determinar
e
. Em
temos
Derivando
então em
Logo a solução particular é
Passo 4
Podemos reescrever a solução no formato
Aqui já está em forma de cosseno puro com
O parâmetro
é a amplitude do movimento,
é a frequência angular, e
é a fase inicial.
Passo 5
A frequência em hertz (ciclos por segundo) é
O período, que é o tempo para uma oscilação completa, é
Resposta
Solução geral:
Solução do PVI:
Amplitude:
.
Frequência angular: .
Frequência (Hz): .
Fase: .
Período: .
Frequência angular:
Frequência (Hz):
Fase:
Período: