Exercício 15 Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola e dado por
y^prime prime+5 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=0
(a) Encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial. Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' + 5y = 0, y(0)=1, y'(0)=0
Isso é um oscilador harmônico simples sem amortecimento. O conteúdo da matéria é solução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico para achar a solução geral e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado a
y'' + 5y = 0
que é
r^2 + 5 = 0
As raízes são
r = pm iraiz5
Portanto, a solução geral é
y(t) = C1cosl(raiz5,tr) + C2sinl(raiz5,tr)

Passo 3

Usamos as condições iniciais para determinar C1 e C2. Em t=0 temos
y(0) = C1 = 1
Derivando
y'(t) = -C1raiz5,sinl(raiz5,tr) + C2raiz5,cosl(raiz5,tr),
então em t=0
y'(0) = C2raiz5 = 0 ;Longrightarrow; C2 = 0
Logo a solução particular é
y(t) = cosl(raiz5,tr)

Passo 4

Podemos reescrever a solução no formato
y(t) = Acosl(omega,t + varphir)
Aqui já está em forma de cosseno puro com
A = 1, omega = raiz5, varphi = 0
O parâmetro A é a amplitude do movimento, omega é a frequência angular, e varphi é a fase inicial.

Passo 5

A frequência em hertz (ciclos por segundo) é
f = omega2pi = raiz52pi
O período, que é o tempo para uma oscilação completa, é
T = 2piomega = 2piraiz5

Resposta

Solução geral:
y(t) = C1cosl(raiz5,tr) + C2sinl(raiz5,tr)
Solução do PVI:
y(t) = cosl(raiz5,tr)
Amplitude: A=1.
Frequência angular: omega=raiz5.
Frequência (Hz): f=raiz5/(2pi).
Fase: varphi=0.
Período: T=2pi/raiz5.

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