Problema 2.17:

*2.17 Dados os vetores A=2 ax+4 ay+10 az e B=-5 arho+aphi-3 az, determine:
(a) A+B em P(0,2,-5);
(b) o ângulo entre A e B e m P;
(c) a componente escalar de A ao longo de B em P.
Obs.: P(0,2,-5) refere-se a um ponto em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em origens diferentes de base:
A=2,ax+4,ay+10,az está em base cartesiana.
B=-5,arho+1,aphi-3,az está em base cilíndrica.
O ponto P(0,2,-5) serve para definir a direção de arho e aphi.
Vamos então: (i) achar arho e aphi em coordenadas cartesianas; (ii) expressar B em (ax,ay,az); (iii) calcular A+B; (iv) encontrar o ângulo entre A e B; (v) obter a componente escalar de A ao longo de B.

Passo 2

No ponto P(0,2,-5) temos x=0, y=2, logo o ângulo azimutal
phi=arctan!l(tfracyxr)=arctan(infty)=90^circ.
Portanto
arho=cosphi,ax+sinphi,ay =0,ax+1,ay , aphi=-sinphi,ax+cosphi,ay =-1,ax+0,ay

Passo 3

Substituindo em B=-5,arho+1,aphi-3,az, obtemos
B =-5,(0,ax+1,ay) +1,(-1,ax+0,ay) -3,az =-1,ax-5,ay-3,az

Passo 4

Agora A+B em componentes cartesianas:
A+B =(2-1),ax+(4-5),ay+(10-3),az =1,ax-1,ay+7,az

Passo 5

Para o ângulo theta entre A e B usamos
AcdotB =2cdot(-1)+4cdot(-5)+10cdot(-3)=-2-20-30=-52,
|A|=raiz2^2+4^2+10^2=raiz120=2raiz30, |B|=raiz(-1)^2+(-5)^2+(-3)^2=raiz35
Logo
costheta =AcdotB|A||B| =-522raiz30,raiz35 =-522raiz1050 =-26raiz1050,
theta =arccos!l(-tfrac26raiz1050r)approx143,4^circ

Passo 6

A componente escalar de A ao longo de B é
compBA =AcdotB|B| =-52raiz35 approx-8,79

Resposta

(a) A+B=1,ax-1,ay+7,az.
(b) thetaapprox143,4^circ.
(c) compBA=-dfrac52raiz35approx-8,79.

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