Use uma integral dupla polar para calcular a área compreendida pela rosácea de três pétalas
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra calcular a área da rosácea de três pétalas dada por
usando integral dupla em coordenadas polares.
Conteúdo: área em coordenadas polares e trigonometria (identidade de ).
O que precisamos:
usando integral dupla em coordenadas polares.
Conteúdo: área em coordenadas polares e trigonometria (identidade de
O que precisamos:
- saber como escrever a área em polares:
- identificar o intervalo de
para uma pétala; - usar a identidade
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o intervalo de
em que a pétala “existe” (ou seja,
).
quando
, ou seja
.
A pétala pra frente ocorre em
A pétala pra frente ocorre em
Então a área de uma pétala é
Passo 3
Integramos primeiro em
:
Logo
Passo 4
Agora usamos a identidade
.
Então
Então
Passo 5
Integramos:
Logo
Passo 6
A rosácea tem 3 pétalas iguais, então a área total é