Use uma integral dupla polar para calcular a área compreendida pela rosácea de três pétalas r=sin (3 theta).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular a área da rosácea de três pétalas dada por
r = sin(3theta)
usando integral dupla em coordenadas polares.
Conteúdo: área em coordenadas polares e trigonometria (identidade de sin^2).
O que precisamos:
  1. saber como escrever a área em polares:
A = integral duplaR dA = integraltheta1^theta2!integralr=0^r(theta) r,dr,dtheta
  1. identificar o intervalo de theta para uma pétala;
  2. usar a identidade sin^2 x = tfrac12(1 - cos(2x)).

Passo 2

Primeiro, vamos achar o intervalo de theta em que a pétala “existe” (ou seja, sin(3theta)>=0).
sin(3theta)=0 quando 3theta = kpi, ou seja theta = kpi/3.
A pétala pra frente ocorre em
0 <= 3theta <= pi Longrightarrow 0 <= theta <= pi3
Então a área de uma pétala é
Arm pétala = integraltheta=0^pi/3!integralr=0^sin(3theta) r,dr,dtheta é

Passo 3

Integramos primeiro em r:
integralr=0^sin(3theta) r,dr = 12,l[sin(3theta)r]^2 = 12,sin^2(3theta)
Logo
Arm pétala = integral0^pi/3 12,sin^2(3theta),dtheta = 12integral0^pi/3sin^2(3theta),dtheta é

Passo 4

Agora usamos a identidade
sin^2(3theta) = tfrac12l(1 - cos(6theta)r).
Então
Arm pétala = 12integral0^pi/3 1 - cos(6theta)2,dtheta = 14integral0^pi/3!l(1 - cos(6theta)r),dtheta é

Passo 5

Integramos:
integral0^pi/3 (1 - cos(6theta)),dtheta = l[theta - tfrac16sin(6theta)r]0^pi/3 = l(tfracpi3 - 0r) - tfrac16l(sin(2pi)-0r) = pi3
Logo
Arm pétala = 14,pi3 = pi12 é

Passo 6

A rosácea tem 3 pétalas iguais, então a área total é
Arm total = 3 times Arm pétala = 3 times pi12 = pi4 é

Resposta

pi4

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