Ache a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas planas.
O loop de
O loop de
Passo 1
O enunciado pede para achar a área da região fechada (o “loop”) da curva de Descartes dada por
O conteúdo envolve parametrização da curva e uso da fórmula de área em coordenadas paramétricas:
Passo 2
Para parametrizar o loop, usamos a parametrização clássica
Quando
e
, voltamos à origem, cobrindo exatamente o laço em primeiro quadrante.
Passo 3
Aplicamos a fórmula de área em função de
:
Vamos calcular
,
e depois o integrando.
Passo 4
Derivando:
Então
Passo 5
Substituindo no integral de área:
Fazendo
,
leva a
Passo 6
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Resposta
A área do loop da curva
é