Ache a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas planas.
O loop de x^3+y^3=3 x y

Passo 1

O enunciado pede para achar a área da região fechada (o “loop”) da curva de Descartes dada por
x^3+y^3=3xy
O conteúdo envolve parametrização da curva e uso da fórmula de área em coordenadas paramétricas:
A=12integralgamma(x,dy - y,dx)

Passo 2

Para parametrizar o loop, usamos a parametrização clássica
x(t)=3t1+t^3, y(t)=3t^21+t^3, tin[0,infty)
Quando t=0 e ttoinfty, voltamos à origem, cobrindo exatamente o laço em primeiro quadrante.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de área em função de t:
A=12integral0^inftyl(x(t),y'(t)-y(t),x'(t)r),dt
Vamos calcular x'(t), y'(t) e depois o integrando.

Passo 4

Derivando:
x'(t)=3(1-2t^3)(1+t^3)^2, y'(t)=3t(2-t^3)(1+t^3)^2
Então
x,y'-y,x' =9t^2(2-t^3)(1+t^3)^3 -9t^2(1-2t^3)(1+t^3)^3 =9t^2(1+t^3)^2

Passo 5

Substituindo no integral de área:
A=12integral0^infty9t^2(1+t^3)^2,dt =92integral0^inftyt^2(1+t^3)^2,dt
Fazendo u=t^3, du=3t^2dt leva a
integral0^inftyt^2(1+t^3)^2,dt =13integral0^inftydu(1+u)^2 =13gl[-11+ugr]0^infty =13

Passo 6

Logo
A=92cdot13=32

Resposta

A área do loop da curva x^3+y^3=3xy é dfrac32

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