Ache a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas planas.
A região limitada por (x^2+y^2)^2=x y

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva
l(x^2+y^2r)^2=x,y
O conteúdo usado será coordenadas polares e integração dupla para área. Vamos passar a equação para coordenadas polares e depois calcular a área via
área=integral duplaregiãodA áã
com dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares, x=rcostheta e y=rsintheta, logo
(x^2+y^2)^2 = r^4, x,y = r^2costhetasintheta
A equação fica
r^4 = r^2costhetasintheta Longrightarrow r^2 = costhetasintheta = tfrac12sin2theta,
ou seja
r = raiztfrac12sin2theta,,
além da solução trivial r=0.

Passo 3

Para r real precisamos sin2theta>=0, isto é
2thetain[0,pi]cup[2pi,3pi]Longrightarrow thetain[0,tfracpi2]cup[pi,tfrac3pi2]
Isso mostra que há duas “almas” da curva: uma em [0,pi/2] (1.º quadrante) e outra em [pi,3pi/2] (3.º quadrante), de mesma forma.

Passo 4

Calculemos a área de um lobo (por exemplo, o de thetain[0,pi/2]).
Alobo = integraltheta=0^pi/2!integralr=0^raiz12sin2theta r,dr,dtheta = integral0^pi/212l(r^2r)|0^raiz12sin2thetadtheta = integral0^pi/2sin2theta4,dtheta
Agora,
integral0^pi/2sin2theta,dtheta = l[-tfrac12cos2thetar]0^pi/2 = -tfrac12(cospi-cos0) = -tfrac12(-1-1) =1,
portanto
Alobo = 14cdot1 = 14

Passo 5

Como há dois lobos congruentes (um em cada quadrante citado), a área total é
Atotal =2;Alobo =2cdot14 = 12

Resposta

A área de cada lobo é tfrac14 e, somando os dois lobos, a área total da região é tfrac12.

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