Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas a partir de quadrados de papelão de lado 12 cm , cortando quadrados congruentes dos quatro cantos e dobrando as abas resultantes para cima. Se o lado do quadrado a ser cortado mede x cm, determine o volume e a área total dessa caixa como funções de x.

Passo 1

O enunciado pede para achar o volume e a área total de uma caixa aberta obtida a partir de um quadrado de papelão de lado 12 cm. Cortam-se quadrados de lado x em cada canto e dobram-se as abas resultantes. O conteúdo envolve modelar funções de uma variável aplicando fórmulas de volume e área de sólidos simples.

Passo 2

Depois de cortar e dobrar, a caixa terá altura x e base quadrada de lado
L = 12 - 2x
pois removemos um comprimento x em cada extremidade do quadrado original.

Passo 3

O volume de uma caixa com base quadrada de lado L e altura h é
V = L^2,h
Substituindo L=12-2x e h=x, obtemos
V(x) = x,(12 - 2x)^2

Passo 4

A área total de uma caixa aberta é a soma da base mais as quatro faces laterais.
  • Área da base:
(12 - 2x)^2
  • Cada face lateral é um retângulo de dimensões (12 - 2x)times x, e há 4 delas, logo
área das laterais = 4,(12 - 2x),x á
Somando e simplificando,
A(x) = (12 - 2x)^2 ;+; 4x,(12 - 2x) = 144 -48x +4x^2 +48x -8x^2 = 144 -4x^2

Resposta

V(x) = x,(12 - 2x)^2, A(x) = (12 - 2x)^2 + 4x,(12 - 2x);=;144 -4x^2

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