Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas a partir de quadrados de papelão de lado 12 cm , cortando quadrados congruentes dos quatro cantos e dobrando as abas resultantes para cima. Se o lado do quadrado a ser cortado mede
, determine o volume e a área total dessa caixa como funções de
.
Passo 1
O enunciado pede para achar o volume e a área total de uma caixa aberta obtida a partir de um quadrado de papelão de lado 12 cm. Cortam-se quadrados de lado
em cada canto e dobram-se as abas resultantes. O conteúdo envolve modelar funções de uma variável aplicando fórmulas de volume e área de sólidos simples.
Passo 2
Depois de cortar e dobrar, a caixa terá altura
e base quadrada de lado
pois removemos um comprimento
em cada extremidade do quadrado original.
Passo 3
O volume de uma caixa com base quadrada de lado
e altura
é
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
A área total de uma caixa aberta é a soma da base mais as quatro faces laterais.
- Área da base:
- Cada face lateral é um retângulo de dimensões
, e há 4 delas, logo
Somando e simplificando,