Qual(s) do(s) campo(s) abaixo temos
? Onde
é uma curva qualquer suave, fechada e simples.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se, para o campo vetorial
, a integral de linha ao longo de uma curva fechada
é igual à área
dessa curva. Ou seja, queremos saber se:
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que liga integrais de linha sobre uma curva fechada com integrais duplas sobre a região delimitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial
e uma curva fechada
que delimita uma região
, temos:
Aqui,
é chamado de rotacional ou componente
do rotacional de
. Essa expressão relaciona a integral de linha com uma integral dupla sobre a área
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green ao nosso campo
. Nesse caso, temos:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituindo na expressão do rotacional:
Passo 5
Com isso, a integral dupla fica:
Portanto, de acordo com o Teorema de Green:
Isso significa que, para o campo
, a integral de linha sobre qualquer curva fechada suave e simples
é igual a zero, e não à área
.