Qual(s) do(s) campo(s) abaixo temos ointC F d R=AC ? Onde C é uma curva qualquer suave, fechada e simples.
F=(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se, para o campo vetorial F = (x, y) , a integral de linha ao longo de uma curva fechada C é igual à área AC dessa curva. Ou seja, queremos saber se:
ointC F cdot dR = AC
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que liga integrais de linha sobre uma curva fechada com integrais duplas sobre a região delimitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial F = (P, Q) e uma curva fechada C que delimita uma região D , temos:
ointC F cdot dR = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, partial Qpartial x - partial Ppartial y é chamado de rotacional ou componente k do rotacional de F . Essa expressão relaciona a integral de linha com uma integral dupla sobre a área D .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green ao nosso campo F = (x, y) . Nesse caso, temos:
P = x e Q = y

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial ypartial x = 0
partial Ppartial y = partial xpartial y = 0
Agora, substituindo na expressão do rotacional:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 0 = 0

Passo 5

Com isso, a integral dupla fica:
integral duplaD 0 , dA = 0
Portanto, de acordo com o Teorema de Green:
ointC F cdot dR = 0
Isso significa que, para o campo F = (x, y) , a integral de linha sobre qualquer curva fechada suave e simples C é igual a zero, e não à área AC .

Resposta

ointC F cdot dR = 0

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