Qual(s) do(s) campo(s) abaixo temos
? Onde
é uma curva qualquer suave, fechada e simples.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre identificar para qual campo vetorial
a integral de linha ao longo de uma curva fechada
resulta exatamente na área
dessa curva. A equação que estamos analisando é:
Nosso campo vetorial é dado por:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
e uma região
limitada por
:
Onde
. Nossa meta é fazer essa integral dupla igualar à área
, ou seja:
Isso significa que precisamos que:
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Isso confirma que:
Portanto, a integral de linha do campo
ao longo da curva
é igual à área
delimitada por
.
Resposta
Sim, para o campo
, temos que
.