Qual(s) do(s) campo(s) abaixo temos ointC F d R=AC ? Onde C é uma curva qualquer suave, fechada e simples.
F=(sin x^2, x+e^y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre identificar para qual campo vetorial F a integral de linha ao longo de uma curva fechada C resulta exatamente na área AC dessa curva. A equação que estamos analisando é:
ointC F cdot dR = AC
Nosso campo vetorial é dado por:
F = (sin x^2, x + e^y^2)
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva C .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada C e uma região D limitada por C :
ointC F cdot dR = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde F = (P, Q) . Nossa meta é fazer essa integral dupla igualar à área AC , ou seja:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = AC
Isso significa que precisamos que:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1

Passo 3

Vamos identificar P e Q no nosso campo vetorial:
F = (sin x^2, x + e^y^2) Rightarrow P = sin x^2, Q = x + e^y^2
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(x + e^y^2) = 1 + 0 = 1
partial Ppartial y = partialpartial y(sin x^2) = 0

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - 0 = 1
Isso confirma que:
integral duplaD 1 , dA = AC
Portanto, a integral de linha do campo F ao longo da curva C é igual à área AC delimitada por C .

Resposta

Sim, para o campo F = (sin x^2, x + e^y^2) , temos que ointC F cdot dR = AC .

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