Ache a área da superfície de revolução obtida girando-se o arco da catenária y=a cosh (x / a) de x=0 até x=a, em torno do eixo x .
[
(\mathrm{A}=9 \sqrt{2} u.a.)

Passo 1

A questão pede a área da superfície de revolução do arco da catenária y = acosh(x/a) de x=0 a x=a, girando em torno do eixo x. Para isso usamos o conteúdo de cálculo de áreas de superfícies de revolução e a fórmula adequada.

Passo 2

A fórmula geral para a área de superfície gerada por y=f(x), de x1 a x2, girando em torno do eixo x é
S = 2pi integralx1^x2 yraiz1 + l(y'r)^2,dx

Passo 3

Calculamos primeiro a derivada de y. Como y = acosh(x/a), temos
y' = asinh(x/a)cdot1a = sinhl(x/ar)
Logo
1 + (y')^2 = 1 + sinh^2(x/a) = cosh^2(x/a),
então
raiz1 + (y')^2 = cosh(x/a)

Passo 4

Substituindo na integral,
S = 2pi integral0^a l(acosh(x/a)r)l(cosh(x/a)r),dx = 2pi a integral0^a cosh^2(x/a),dx
Para integrar usamos a identidade cosh^2 u = tfrac12(1 + cosh 2u).

Passo 5

Temos então
S = 2pi a integral0^a 1 + cosh(2x/a)2,dx = pi a integral0^a l(1 + cosh(2x/a)r),dx
Calculando cada parte:
integral0^a 1,dx = a,
integral0^a cosh(2x/a),dx = a2sinhl(2x/ar)|0^a = a2sinh(2)

Passo 6

Somando os resultados,
S = pi a l(a + a2sinh(2)r) = pi a^2 l(1 + tfrac12sinh(2)r)

Passo 7

Portanto a área da superfície de revolução é dada por

Passo 8

Resposta

S = pi a^2 l(1 + tfrac12sinh(2)r) ua

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