3.1 Dada a função f: R^2 longrightarrow R tal que f(x, y)= raiz4-4 x^2+y^2, calcule partial fpartial x(1,2) e partial fpartial y(1,2) interprete estes números como inclinações de retas tangentes às funções g(x)= f(x, 2) e h(y)=f(1, y). Faça um gráfico mostrando as retas.

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular as derivadas parciais de f(x,y)= raiz4-4x^2+y^2 no ponto (1,2), interpretar esses valores como inclinações das retas tangentes às curvas g(x)=f(x,2) e h(y)=f(1,y), e depois esboçar essas retas.

Passo 2

Pra achar as derivadas parciais a gente vê que f(x,y)=(4-4x2+y2)^{1/2}. Usando a regra da cadeia, derivando em relação a x:
fx(x,y)=12(4-4x^2+y^2)^-1/2cdot(-8x)=-4xraiz4-4x^2+y^2
Derivando em relação a y:
fy(x,y)=12(4-4x^2+y^2)^-1/2cdot(2y)=yraiz4-4x^2+y^2

Passo 3

Agora avaliamos em (1,2). O radicando vale 4-4·12+22=4, então raiz4=2. Logo:
fx(1,2)=-4·12=-2, fy(1,2)=22=1
Esses valores são as inclinações das retas tangentes. Para g(x)=f(x,2), no ponto x=1 temos g(1)=2 e declive -2. A reta fica
z=2-2(x-1)

Passo 4

Para h(y)=f(1,y), no ponto y=2 temos h(2)=2 e declive 1. A reta fica
z=2+1,(y-2)

Passo 5

No plano x–z a reta de g passa por (1,2) com inclinação -2; no plano y–z a reta de h passa por (2,2) com inclinação +1. Esboce dois eixos (x e z) e (y e z) e trace as retas conforme as equações acima.

Resposta

As derivadas parciais são fx(1,2)=-2 e fy(1,2)=1. As retas tangentes são
ellg:;z=2-2(x-1), ellh:;z=2+(y-2)

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