3.1 Dada a função
tal que
, calcule
e
interprete estes números como inclinações de retas tangentes às funções
e
. Faça um gráfico mostrando as retas.
Passo 1
O enunciado pede pra gente calcular as derivadas parciais de f(x,y)=
no ponto (1,2), interpretar esses valores como inclinações das retas tangentes às curvas g(x)=f(x,2) e h(y)=f(1,y), e depois esboçar essas retas.
Passo 2
Pra achar as derivadas parciais a gente vê que f(x,y)=(4-4x2+y2)^{1/2}. Usando a regra da cadeia, derivando em relação a x:
Derivando em relação a y:
Passo 3
Agora avaliamos em (1,2). O radicando vale 4-4·12+22=4, então
. Logo:
Esses valores são as inclinações das retas tangentes. Para g(x)=f(x,2), no ponto x=1 temos g(1)=2 e declive -2. A reta fica
Passo 4
Para h(y)=f(1,y), no ponto y=2 temos h(2)=2 e declive 1. A reta fica
Passo 5
No plano x–z a reta de g passa por (1,2) com inclinação -2; no plano y–z a reta de h passa por (2,2) com inclinação +1. Esboce dois eixos (x e z) e (y e z) e trace as retas conforme as equações acima.
Resposta
As derivadas parciais são
e
. As retas tangentes são