3.2 Encontre as derivadas parciais fx(x, y) e fy(x, y) da função f(x, y)=2 x^y no ponto (2,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=2x^y e avaliá-las no ponto (2,3). O conteúdo é derivada parcial de funções do tipo x^y, e vamos usar as regras de derivação tratadas separadamente em cada variável.

Passo 2

Para obter f_x, tratamos y como constante e usamos que partialpartial xx^y = yx^y-1. Portanto
fx(x,y)=2cdot yx^y-1

Passo 3

Para obter f_y, tratamos x como constante e usamos que partialpartial yx^y=x^yln x. Assim
fy(x,y)=2cdot x^yln x

Passo 4

Agora avaliamos em (2,3). Substituindo x=2 e y=3 em ambas:
fx(2,3)=2cdot3cdot2^2=24
fy(2,3)=2cdot2^3ln2=16ln2

Resposta

fx(2,3)=24, fy(2,3)=16ln2

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